Válec je jedním z jednoduchých trojrozměrných obrazců, které se studují ve školním kurzu geometrie (část tělesová geometrie). V tomto případě často vznikají problémy při výpočtu objemu a hmotnosti válce a také při určování jeho povrchové plochy. Odpovědi na označené otázky jsou uvedeny v tomto článku.
Co je válec?
Než přistoupíme k odpovědi na otázku, jaká je hmotnost válce a jeho objem, stojí za to zvážit, jaký je tento prostorový obrazec. Ihned je třeba poznamenat, že válec je trojrozměrný objekt. To znamená, že v prostoru můžete měřit tři jeho parametry podél každé z os v kartézském pravoúhlém systému souřadnic. Ve skutečnosti k jednoznačnému určení rozměrů válce stačí znát pouze dva jeho parametry.
Válec je trojrozměrná postava tvořená dvěma kruhy a válcovou plochou. Pro jasnější znázornění tohoto objektu stačí vzít obdélník a začít s ním otáčet kolem kterékoli z jeho stran, což bude osa otáčení. V tomto případě bude rotující obdélník popisovat tvarrotace - válec.
Dvě kruhové plochy se nazývají základny válce, vyznačují se určitým poloměrem. Vzdálenost mezi základnami se nazývá výška. Obě základny jsou vzájemně spojeny válcovou plochou. Přímka procházející středy obou kružnic se nazývá osa válce.
Objem a plocha
Jak můžete vidět z výše uvedeného, válec je definován dvěma parametry: výškou h a poloměrem jeho základny r. Se znalostí těchto parametrů je možné vypočítat všechny ostatní charakteristiky uvažovaného tělesa. Níže jsou ty hlavní:
- Rozloha základen. Tato hodnota se vypočítá podle vzorce: S1=2pir2, kde pi je pí rovno 3, 14. Číslice 2 ve vzorci se objeví, protože válec má dvě stejné základny.
- Válcový povrch. Lze to vypočítat takto: S2=2pirh. Tento vzorec je snadné pochopit: pokud je válcový povrch vertikálně řezán z jedné základny na druhou a roztažen, získá se obdélník, jehož výška se bude rovnat výšce válce a šířka bude odpovídat obvod základny trojrozměrného obrazce. Protože plocha výsledného obdélníku je součinem jeho stran, které se rovnají h a 2pir, získáme výše uvedený vzorec.
- Plocha válce. Je rovna součtu oblastí S1 a S2, dostáváme: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Objem. Tuto hodnotu najdete snadno, stačí vynásobit plochu jedné základny výškou postavy: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Určení hmotnosti válce
Nakonec stojí za to přejít přímo k tématu článku. Jak určit hmotnost válce? Chcete-li to provést, musíte znát jeho objem, vzorec pro výpočet, který byl uveden výše. A hustota látky, ze které se skládá. Hmotnost je určena jednoduchým vzorcem: m=ρV, kde ρ je hustota materiálu, který tvoří předmět.
Pojem hustota charakterizuje hmotnost látky, která je v jednotkovém objemu prostoru. Například. Je známo, že železo má vyšší hustotu než dřevo. To znamená, že v případě stejných objemů železa a dřevní hmoty bude mít dřevěná hmota mnohem větší hmotnost než dřevěná hmota (přibližně 16krát).
Výpočet hmotnosti měděného válce
Zvažte jednoduchý problém. Je nutné najít hmotnost válce vyrobeného z mědi. Pro jistotu nechť má válec průměr 20 cm a výšku 10 cm.
Než začnete problém řešit, měli byste se zabývat zdrojovými daty. Poloměr válce je roven polovině jeho průměru, což znamená r=20/2=10 cm, zatímco výška je h=10 cm. Protože válec uvažovaný v problému je vyroben z mědi, pak podle referenční údaje, zapíšeme hodnotu hustoty tohoto materiálu: ρ=8, 96 g/cm3 (pro teplotu 20 °C).
Nyní můžete začít problém řešit. Nejprve vypočítejme objem: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Potom bude hmotnost válce: m=ρV=8,963140=28134 gramů nebo přibližně 28 kilogramů.
Při použití v příslušných vzorcích byste měli věnovat pozornost rozměrům jednotek. Takže v problému byly všechny parametry uvedeny v centimetrech a gramech.
Homogenní a duté válce
Z výsledku získaného výše je vidět, že měděný válec s relativně malými rozměry (10 cm) má velkou hmotnost (28 kg). Je to dáno nejen tím, že je vyrobeno z těžkého materiálu, ale také tím, že je homogenní. Tuto skutečnost je důležité pochopit, protože výše uvedený vzorec pro výpočet hmotnosti lze použít pouze tehdy, pokud je válec kompletně (vně i uvnitř) vyroben ze stejného materiálu, to znamená, že je homogenní.
V praxi se často používají duté válce (například válcové sudy na vodu). To znamená, že jsou vyrobeny z tenkých plátů nějakého materiálu, ale uvnitř jsou prázdné. Pro dutý válec nelze použít uvedený vzorec pro výpočet hmotnosti.
Výpočet hmotnosti dutého válce
Je zajímavé vypočítat, jakou hmotnost bude mít měděný válec, pokud je uvnitř prázdný. Nechte jej vyrobit například z tenkého měděného plechu o tloušťce pouze d=2 mm.
Abyste tento problém vyřešili, musíte zjistit objem samotné mědi, ze které je předmět vyroben. Ne objem válce. Protože tloušťkaplech je malý ve srovnání s rozměry válce (d=2 mm a r=10 cm), pak objem mědi, ze kterého je předmět vyroben, lze zjistit vynásobením celé plochy válce hodnotou tloušťku měděného plechu, dostaneme: V=dS 3=d2pir(r+h). Dosazením dat z předchozí úlohy dostaneme: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Hmotnost dutého válce lze získat vynásobením získaného objemu mědi, který byl potřebný pro jeho výrobu, hustotou mědi: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g nebo 2,3 kg. To znamená, že uvažovaný dutý válec váží 12 (28, 1/2, 3) krát méně než homogenní válec.
