Pro určení rovnoběžnosti a kolmosti rovin, stejně jako pro výpočet vzdáleností mezi těmito geometrickými objekty, je vhodné použít ten či onen typ numerických funkcí. Pro jaké úlohy je vhodné použít rovnici roviny v úsecích? V tomto článku se podíváme, co to je a jak to používat v praktických úkolech.
Co je rovnice v úsečkách?
Rovina může být definována ve 3D prostoru několika způsoby. V tomto článku budou některé z nich uvedeny při řešení problémů různého typu. Zde uvádíme podrobný popis rovnice v úsecích roviny. Obecně má následující tvar:
x/p + y/q + z/r=1.
Kde symboly p, q, r označují některá konkrétní čísla. Tuto rovnici lze snadno převést do obecného výrazu a do jiných forem numerických funkcí pro rovinu.
Vhodnost psaní rovnice po segmentech spočívá v tom, že obsahuje explicitní souřadnice průsečíku roviny s kolmými souřadnicovými osami. Na ose xvzhledem k počátku rovina odřízne segment o délce p, na ose y - rovno q, na z - o délce r.
Pokud žádná ze tří proměnných není obsažena v rovnici, pak to znamená, že rovina neprochází příslušnou osou (matematici říkají, že se kříží v nekonečnu).
Dále je zde několik úloh, ve kterých si ukážeme, jak s touto rovnicí pracovat.
Komunikace obecně a v segmentech rovnic
Je známo, že rovina je dána následující rovností:
2x – 3y + z – 6=0.
Tuto obecnou rovnici roviny je nutné zapsat po úsecích.
Když se objeví podobný problém, musíte postupovat podle této techniky: převedeme volný termín na pravou stranu rovnosti. Potom celou rovnici vydělíme tímto členem a pokusíme se ji vyjádřit ve tvaru uvedeném v předchozím odstavci. Máme:
2x – 3y + z=6=>
2x/6 – 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Získali jsme v úsecích rovnici roviny, danou zpočátku v obecném tvaru. Je patrné, že rovina ořezává segmenty o délkách 3, 2 a 6 pro osy x, y a z. Osa y protíná rovinu v oblasti záporných souřadnic.
Při sestavování rovnice po segmentech je důležité, aby všem proměnným předcházelo znaménko „+“. Pouze v tomto případě číslo, kterým je tato proměnná dělena, bude ukazovat oříznutí souřadnic na ose.
Normální vektor a bod v rovině
Je známo, že některá rovina má směrový vektor (3; 0; -1). Je také známo, že prochází bodem (1; 1; 1). Pro tuto rovinu napište rovnici po segmentech.
Abyste tento problém vyřešili, měli byste nejprve použít obecný tvar pro tento dvourozměrný geometrický objekt. Obecná forma se zapisuje jako:
Ax + By + Cz + D=0.
První tři koeficienty zde jsou souřadnicemi vodícího vektoru, který je specifikován v zadání problému, tedy:
A=3;
B=0;
C=-1.
Zbývá najít volný termín D. Lze jej určit podle následujícího vzorce:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kde hodnoty souřadnic s indexem 1 odpovídají souřadnicím bodu patřícího do roviny. Dosadíme jejich hodnoty ze stavu problému, dostaneme:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nyní můžete napsat celou rovnici:
3x – z – 2=0.
Technika převodu tohoto výrazu na rovnici v úsecích roviny již byla demonstrována výše. Použijte to:
3x – z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Odpověď na problém byla přijata. Všimněte si, že tato rovina protíná pouze osy x a z. Pro y je rovnoběžné.
Dvě rovné čáry definující rovinu
Z kurzu prostorové geometrie každý student ví, že dvě libovolné přímky jednoznačně definují rovinu vtrojrozměrný prostor. Pojďme vyřešit podobný problém.
Jsou známy dvě rovnice přímek:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Je nutné zapsat rovnici roviny po úsecích, procházejících těmito přímkami.
Protože obě přímky musí ležet v rovině, znamená to, že jejich vektory (vodítka) musí být kolmé na vektor (vodítko) pro rovinu. Přitom je známo, že vektorový součin libovolných dvou směrovaných segmentů dává výsledek ve formě souřadnic třetího, kolmého na dva původní. Vzhledem k této vlastnosti získáme souřadnice vektoru kolmého k požadované rovině:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Jelikož se dá vynásobit libovolným číslem, vznikne nový směrovaný segment rovnoběžný s původním, znaménko získaných souřadnic můžeme nahradit opačným (vynásobit -1), dostaneme:
(1; 2; 1).
Známe směrový vektor. Zbývá vzít libovolný bod jedné z přímek a sestavit obecnou rovnici roviny:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Převedením této rovnosti do výrazu v segmentech dostaneme:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Rovina tedy protíná všechny tři osy v kladné oblasti souřadnicového systému.
Tři body a rovina
Stejně jako dvě přímky, tři body definují jednoznačně rovinu v trojrozměrném prostoru. Odpovídající rovnici zapíšeme po úsecích, pokud jsou známy následující souřadnice bodů ležících v rovině:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Udělejme následující: vypočítejte souřadnice dvou libovolných vektorů spojujících tyto body, pak najděte vektor n¯ kolmý k rovině výpočtem součinu nalezených směrovaných segmentů. Dostáváme:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Vezměte si jako příklad bod P a sestavte rovnici roviny:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 nebo z=0.
Dostali jsme jednoduchý výraz, který odpovídá rovině xy v daném pravoúhlém souřadnicovém systému. Nelze jej zapsat po segmentech, protože osy x a y patří do roviny a délka segmentu odříznutého na ose z je nulová (bod (0; 0; 0) patří do roviny).
