Rovinové rovnice. Úhel mezi dvěma rovinami

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Rovina je spolu s bodem a přímkou základním geometrickým prvkem. S jeho použitím se staví mnoho obrazců v prostorové geometrii. V tomto článku se budeme podrobněji zabývat otázkou, jak najít úhel mezi dvěma rovinami.

Koncept

Než budeme mluvit o úhlu mezi dvěma rovinami, měli byste dobře pochopit, o jakém prvku v geometrii mluvíme. Pojďme pochopit terminologii. Rovina je nekonečná sbírka bodů v prostoru, jejichž spojováním dostáváme vektory. Ten bude kolmý na nějaký jeden vektor. Běžně se nazývá normála k rovině.

Obrázek nahoře ukazuje rovinu a k ní dva normálové vektory. Je vidět, že oba vektory leží na stejné přímce. Úhel mezi nimi je 180o.

Rovnice

Úhel mezi dvěma rovinami lze určit, pokud je známa matematická rovnice uvažovaného geometrického prvku. Existuje několik typů takových rovnic,jejichž jména jsou uvedena níže:

• obecný typ;
• vector;
• v segmentech.

Tyto tři typy jsou nejvhodnější pro řešení různých druhů problémů, proto se používají nejčastěji.

Rovnice obecného typu vypadá takto:

Ax + By + Cz + D=0.

Zde x, y, z jsou souřadnice libovolného bodu patřícího do dané roviny. Parametry A, B, C a D jsou čísla. Výhoda tohoto zápisu spočívá ve skutečnosti, že čísla A, B, C jsou souřadnicemi vektoru kolmého k rovině.

Vektorový tvar letadla lze znázornit následovně:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Zde (a₂, b₂, c₂) a (a ₁, b₁, c₁) - parametry dvou souřadnicových vektorů, které patří do uvažované roviny. V této rovině leží také bod (x₀, y₀, z_{0). Parametry α a β mohou nabývat nezávislých a libovolných hodnot.}

Nakonec je rovnice roviny v segmentech znázorněna v následujícím matematickém tvaru:

x/p + y/q + z/l=1.

Zde p, q, l jsou konkrétní čísla (včetně záporných). Tento druh rovnic je užitečný, když je nutné zobrazit rovinu v pravoúhlém souřadnicovém systému, protože čísla p, q, l ukazují průsečíky s osami x, y a zletadlo.

Všimněte si, že každý typ rovnice lze převést na jakýkoli jiný pomocí jednoduchých matematických operací.

Vzorec pro úhel mezi dvěma rovinami

Nyní zvažte následující nuance. V trojrozměrném prostoru mohou být dvě roviny umístěny pouze dvěma způsoby. Buď se protínají, nebo jsou rovnoběžné. Mezi dvěma rovinami je úhel to, co se nachází mezi jejich vodícími vektory (normální). Protínající se 2 vektory tvoří 2 úhly (v obecném případě ostrý a tupý). Úhel mezi rovinami je považován za ostrý. Zvažte rovnici.

Vzorec pro úhel mezi dvěma rovinami je:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Je snadné uhodnout, že tento výraz je přímým důsledkem skalárního součinu normálních vektorů n₁¯ a n₂ ¯ pro uvažovaná letadla. Modul bodového součinu v čitateli udává, že úhel θ bude nabývat pouze hodnot od 0^o do 90^{o. Součin modulů normálních vektorů ve jmenovateli znamená součin jejich délek.}

Všimněte si, že pokud (n₁¯n_{2¯)=0, pak se roviny protínají v pravém úhlu.}

Příklad problému

Když jsme přišli na to, čemu se říká úhel mezi dvěma rovinami, vyřešíme následující problém. Jako příklad. Je tedy nutné vypočítat úhel mezi těmito rovinami:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Abyste problém vyřešili, potřebujete znát směrové vektory rovin. Pro první rovinu je normální vektor: n₁¯=(2, -3, 0). Pro nalezení druhého rovinného normálového vektoru je třeba vynásobit vektory za parametry α a β. Výsledkem je vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

K určení úhlu θ použijeme vzorec z předchozího odstavce. Dostáváme:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Vypočítaný úhel v radiánech odpovídá 31,26^o. Roviny z podmínky problému se tedy protínají pod úhlem 31, 26^o.