Pokrok lidstva je z velké části způsoben objevy géniů. Jedním z nich je Blaise Pascal. Jeho tvůrčí biografie opět potvrzuje pravdivost výrazu Liona Feuchtwangera "Talentovaný člověk, talentovaný ve všem." Všechny vědecké úspěchy tohoto velkého vědce je těžké spočítat. Mezi nimi je jeden z nejelegantnějších vynálezů ve světě matematiky - Pascalův trojúhelník.
Pár slov o géniovi
Blaise Pascal zemřel podle moderních standardů brzy, ve věku 39 let. Za svůj krátký život se však vyznamenal jako vynikající fyzik, matematik, filozof a spisovatel. Vděční potomci na jeho počest pojmenovali jednotku tlaku a oblíbený programovací jazyk Pascal. Už téměř 60 let se používá k výuce psaní různých kódů. Například s jeho pomocí může každý student napsat program pro výpočet plochy trojúhelníku v Pascalu a také prozkoumat vlastnosti obvodu, oo kterých bude řeč níže.
Činnost tohoto vědce s mimořádným myšlením zahrnuje širokou škálu vědních oborů. Zejména Blaise Pascal je jedním ze zakladatelů hydrostatiky, matematické analýzy, některých oblastí geometrie a teorie pravděpodobnosti. Také on:
- vytvořil mechanickou kalkulačku známou jako Pascalovo kolo;
- poskytl experimentální důkaz, že vzduch má elasticitu a hmotnost;
- stanoveno, že k předpovědi počasí lze použít barometr;
- vynalezl trakař;
- vynalezl omnibus - koňské povozy s pevnými trasami, které se později staly prvním typem pravidelné veřejné dopravy atd.
Pascalův aritmetický trojúhelník
Jak již bylo zmíněno, tento velký francouzský vědec výrazně přispěl k matematické vědě. Jedním z jeho absolutních vědeckých mistrovských děl je „Pojednání o aritmetickém trojúhelníku“, které se skládá z binomických koeficientů uspořádaných v určitém pořadí. Vlastnosti tohoto schématu jsou nápadné ve své rozmanitosti a samo o sobě potvrzuje přísloví „Všechno důmyslné je jednoduché!“.
Trocha historie
Pro upřímnost je třeba říci, že Pascalův trojúhelník byl v Evropě znám již na počátku 16. století. Zejména jeho snímek je k vidění na obálce učebnice aritmetiky od slavného astronoma Petera Apiana z univerzity v Ingolstadtu. Podobný trojúhelník je také znázorněn jako ilustrace.v knize čínského matematika Yang Hui, vydané v roce 1303. Jeho vlastností si byl na počátku 12. století vědom i pozoruhodný perský básník a filozof Omar Khayyam. Navíc se věří, že se s ním setkal z dříve napsaných pojednání arabských a indických vědců.
Popis
Před prozkoumáním nejzajímavějších vlastností Pascalova trojúhelníku, krásného ve své dokonalosti a jednoduchosti, stojí za to vědět, co to je.
Vědecky řečeno, toto numerické schéma je nekonečná trojúhelníková tabulka vytvořená z binomických koeficientů uspořádaných v určitém pořadí. V jeho horní části a po stranách jsou čísla 1. Zbývající pozice jsou obsazeny čísly rovnými součtu dvou čísel umístěných nad nimi vedle sebe. Navíc všechny čáry Pascalova trojúhelníku jsou symetrické kolem jeho svislé osy.
Základní funkce
Pascalův trojúhelník zasáhne svou dokonalostí. Pro každý řádek očíslovaný n (n=0, 1, 2…) platí:
- první a poslední číslo je 1;
- druhý a předposlední - n;
- třetí číslo se rovná trojúhelníkovému číslu (počet kruhů, které lze uspořádat do rovnostranného trojúhelníku, tj. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Čtvrté číslo je čtyřstěnné, tj. je to pyramida s trojúhelníkem na základně.
Kromě toho, relativně nedávno, v roce 1972, byla založena další vlastnost Pascalova trojúhelníku. Aby pro nějabyste to zjistili, musíte napsat prvky tohoto schématu ve formě tabulky s posunem řádku o 2 pozice. Pak si poznamenejte čísla dělitelná číslem řádku. Ukazuje se, že číslo sloupce, ve kterém jsou všechna čísla zvýrazněna, je prvočíslo.
Stejný trik lze provést i jiným způsobem. Za tímto účelem jsou v Pascalově trojúhelníku čísla nahrazena zbytky jejich dělení číslem řádku v tabulce. Poté jsou čáry uspořádány ve výsledném trojúhelníku tak, že další začíná o 2 sloupce vpravo od prvního prvku předchozího. Sloupce s čísly, která jsou prvočísly, se pak budou skládat pouze z nul a sloupce se složenými čísly budou obsahovat alespoň jednu nulu.
Spojení s Newtonovým binomem
Jak víte, toto je název vzorce pro expanzi na termíny nezáporné celočíselné mocniny součtu dvou proměnných, který vypadá takto:
Koeficienty v nich uvedené se rovnají C m =n! / (m! (n - m)!), kde m je pořadové číslo v řadě n Pascalova trojúhelníku. Jinými slovy, s touto tabulkou po ruce můžete snadno umocnit jakákoli čísla na mocninu, když jste je předtím rozložili na dva pojmy.
Pascalův trojúhelník a Newtonův binomický znak spolu tedy úzce souvisí.
Math Wonders
Podrobné zkoumání Pascalova trojúhelníku ukazuje, že:
- součet všech čísel v řádku ssériové číslo n (počítáno od 0) je 2;
- jsou-li čáry zarovnány doleva, pak se součty čísel, která se nacházejí podél úhlopříček Pascalova trojúhelníku, jdoucí zdola nahoru a zleva doprava, rovnají Fibonacciho číslům;
- první "úhlopříčka" se skládá z přirozených čísel v pořadí;
- jakýkoli prvek z Pascalova trojúhelníku, zmenšený o jednu, se rovná součtu všech čísel umístěných uvnitř rovnoběžníku, který je omezen levou a pravou úhlopříčkou protínající se na tomto čísle;
- v každém řádku diagramu se součet čísel na sudých místech rovná součtu prvků na lichých místech.
Sierpinski Triangle
Takové zajímavé matematické schéma, docela slibné z hlediska řešení složitých problémů, se získá obarvením sudých čísel pascalského obrázku jednou barvou a lichých čísel jinou.
Sierpinského trojúhelník lze postavit i jiným způsobem:
- ve stínovaném Pascalově schématu je střední trojúhelník přebarven jinou barvou, která je vytvořena spojením středů stran původního;
- udělejte přesně to samé se třemi nenatřenými umístěnými v rozích;
- pokud postup pokračuje donekonečna, výsledkem by měl být dvoubarevný obrázek.
Nejzajímavější vlastností Sierpinského trojúhelníku je jeho sebepodobnost, protože se skládá ze 3 jeho kopií, které jsou 2 krát zmenšené. To nám umožňuje přiřadit toto schéma fraktálovým křivkám a jim, jak ukazuje nejnovějšívýzkum se nejlépe hodí pro matematické modelování mraků, rostlin, říčních delt a samotného vesmíru.
Několik zajímavých úkolů
Kde se používá Pascalův trojúhelník? Příklady úloh, které lze s jeho pomocí řešit, jsou značně rozmanité a patří do různých vědních oborů. Pojďme se podívat na některé z těch zajímavějších.
Problém 1. Některá velká města obklopená pevnostní zdí má pouze jednu vstupní bránu. Na první křižovatce se hlavní silnice rozděluje na dvě. Totéž se děje na jakémkoli jiném. Do města vstupuje 210 lidí. Na každé z křižovatek, se kterými se setkávají, jsou rozděleny napůl. Kolik lidí se najde na každé křižovatce, když už to nebude možné sdílet. Její odpovědí je čára 10 Pascalova trojúhelníku (vzorec koeficientu je uveden výše), kde jsou čísla 210 umístěna na obou stranách svislé osy.
Úkol 2. Existuje 7 názvů barev. Musíte vytvořit kytici ze 3 květin. Je třeba zjistit, kolika různými způsoby to lze provést. Tento problém je z oblasti kombinatoriky. K jeho vyřešení opět použijeme Pascalův trojúhelník a dostaneme na 7. řádku na třetí pozici (číslování v obou případech od 0) číslo 35.
Nyní víte, co vynalezl velký francouzský filozof a vědec Blaise Pascal. Jeho slavný trojúhelník se při správném použití může stát skutečným záchranářem pro řešení mnoha problémů, zejména z terénukombinatorika. Kromě toho může být použit k vyřešení mnoha záhad souvisejících s fraktály.
