Už ve škole se všichni studenti seznamují s pojmem „euklidovská geometrie“, jejíž hlavní ustanovení jsou zaměřena na několik axiomů založených na takových geometrických prvcích, jako je bod, rovina, přímka, pohyb. Všechny dohromady tvoří to, co je dlouho známé pod pojmem „euklidovský prostor“.
Euklidovský prostor, jehož definice je založena na konceptu skalárního násobení vektorů, je speciálním případem lineárního (afinního) prostoru, který splňuje řadu požadavků. Za prvé, skalární součin vektorů je absolutně symetrický, to znamená, že vektor se souřadnicemi (x;y) je kvantitativně shodný s vektorem se souřadnicemi (y;x), ale opačným směrem.
Zadruhé, pokud se provede skalární součin vektoru se sebou samým, bude výsledek této akce pozitivní. Jedinou výjimkou bude případ, kdy jsou počáteční a konečné souřadnice tohoto vektoru rovny nule: v tomto případě bude jeho součin sám se sebou také roven nule.
Za třetí, skalární součin je distributivní, to znamená, že je možné rozložit jednu z jeho souřadnic na součet dvou hodnot, což nebude mít za následek žádné změny v konečném výsledku skalárního násobení vektorů. Konečně za čtvrté, když se vektory vynásobí stejným reálným číslem, jejich skalární součin se také zvýší stejným faktorem.
Pokud jsou splněny všechny tyto čtyři podmínky, můžeme s jistotou říci, že máme euklidovský prostor.
Euklidovský prostor z praktického hlediska lze charakterizovat následujícími konkrétními příklady:
- Nejjednodušším případem je přítomnost sady vektorů se skalárním součinem definovaným podle základních zákonů geometrie.
- Euklidovský prostor také získáme, pokud vektory rozumíme určitou konečnou množinu reálných čísel s daným vzorcem popisujícím jejich skalární součet nebo součin.
- Speciálním případem euklidovského prostoru je tzv. nulový prostor, který se získá, pokud je skalární délka obou vektorů rovna nule.
Euklidovský prostor má řadu specifických vlastností. Za prvé, skalární faktor lze vyjmout ze závorek jak z prvního, tak z druhého faktoru skalárního součinu, výsledek z toho se nijak nezmění. Za druhé, spolu s distributivitou prvního prvku skaláruproduktu, působí i distributivita druhého prvku. Kromě skalárního součtu vektorů navíc distributivita probíhá i v případě odečítání vektorů. Konečně, za třetí, když je vektor skalárně vynásoben nulou, výsledek bude také nula.
Euklidovský prostor je tedy nejdůležitějším geometrickým konceptem používaným při řešení problémů se vzájemným uspořádáním vektorů vůči sobě, který je charakterizován takovým konceptem, jako je skalární součin.
