Nalezení determinantu matice je důležitou akcí nejen pro lineární algebru: například v ekonomii se pomocí tohoto výpočtu řeší systémy lineárních rovnic s mnoha neznámými, které jsou široce používány v ekonomických problémech.
Koncept určujícího
Determinant nebo determinant matice je hodnota rovna objemu kvádru postaveného na jeho řádkových nebo sloupcových vektorech. Tuto hodnotu lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici, která má stejný počet řádků a sloupců. Pokud jsou členy matice čísla, pak determinant bude také číslo.
Výpočet determinantů
Je třeba mít na paměti, že existuje několik pravidel, která mohou takové výpočty značně usnadnit.
Takže determinant matice sestávající z jednoho členu je roven jejímu jedinému prvku. Vypočítat determinant druhého řádu není těžké, stačí k tomu odečíst součin prvků umístěných na vedlejší diagonále od součinu členů hlavní diagonály.
Výpočet determinantu 3. řádu je nejjednoduššípodle pravidla trojúhelníku. Chcete-li to provést, proveďte následující akce:
- Najděte součin tří členů matice umístěných na jejím hlavním
- Vynásobte třemi členy umístěnými na trojúhelníkech, jejichž základny jsou rovnoběžné s hlavní diagonálou.
- Opakujte první a druhou akci pro sekundární diagonálu.
- Najděte součet všech hodnot získaných v předchozích výpočtech, zatímco čísla získaná ve třetím odstavci jsou brána se znaménkem mínus.
úhlopříčky.
Pro snadné nalezení determinantu matice 4. řádu i vyšších dimenzí je nutné vzít v úvahu vlastnosti, které mají všechny determinanty:
- Hodnota determinantu se po transpozici matice nemění.
- Změna pozice dvou sousedních řádků nebo sloupců vede ke změně znaménka determinantu.
- Pokud má matice dva stejné řádky nebo sloupce nebo jsou všechny prvky sloupce (řádku) nulové, pak je její determinant roven nule.
- Vynásobení čísel matice libovolným číslem vede ke zvýšení jejího determinantu stejným počtem opakování.
Použití výše uvedených vlastností pomáhá snadno najít determinant matice libovolného řádu. Například pomocí metody redukce pořadí, kdy je determinant rozšířen o prvky řádku (sloupce) vynásobené algebraickým doplňkem.
Další způsob, který usnadňuje nalezení determinantu
matice je uvést ji do trojúhelníkového tvaru, kdy jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. V tomto případě se determinant matice vypočítá jako součin čísel umístěných na této diagonále.
A na závěr bych rád poznamenal, že výpočet determinantů, i když sestává ze zdánlivě jednoduchých matematických výpočtů, však vyžaduje značnou péči a vytrvalost.
