Není možné tvrdit, že umíte matematiku, pokud neumíte kreslit grafy, kreslit nerovnosti na souřadnicové čáře a pracovat se souřadnicovými osami. Vizuální složka ve vědě je životně důležitá, protože bez vizuálních příkladů ve vzorcích a výpočtech můžete být někdy velmi zmatení. V tomto článku uvidíme, jak pracovat se souřadnými osami, a naučíme se vytvářet jednoduché grafy funkcí.
Aplikace
Souřadnicová čára je základem nejjednodušších typů grafů, se kterými se student na své vzdělávací cestě setká. Používá se téměř v každém matematickém tématu: při výpočtu rychlosti a času, promítání velikosti objektů a výpočtu jejich plochy, v trigonometrii při práci se sinusem a kosinusem.
Hlavní hodnotou takové přímé linie je viditelnost. Protože matematika je věda, která vyžaduje vysokou úroveň abstraktního myšlení, grafy pomáhají při reprezentaci objektu v reálném světě. jak se chová? V jakém bodě prostoru budepár sekund, minut, hodin? Co se o něm dá říci ve srovnání s jinými objekty? Jaká je jeho rychlost v náhodně vybraném čase? Jak charakterizovat jeho pohyb?
A o rychlosti mluvíme z nějakého důvodu – často je zobrazována pomocí funkčních grafů. A také dokážou zobrazit změny teploty nebo tlaku uvnitř objektu, jeho velikost, orientaci vzhledem k horizontu. Sestavení souřadnicové čáry je tedy často vyžadováno i ve fyzice.
Jednorozměrný graf
Existuje koncept multidimenzionality. V jednorozměrném prostoru stačí k určení polohy bodu pouze jedno číslo. To je přesně případ použití souřadnicové čáry. Je-li prostor dvourozměrný, jsou vyžadována dvě čísla. Grafy tohoto typu se používají mnohem častěji a určitě se nad nimi v článku trochu zamyslíme.
Co lze vidět pomocí bodů na ose, pokud existuje pouze jedna osa? Můžete vidět velikost objektu, jeho polohu v prostoru vzhledem k nějaké "nule", tj. bodu zvolenému jako referenční bod.
Změna parametrů v průběhu času nebude viditelná, protože všechny hodnoty budou zobrazeny pro jeden konkrétní okamžik. Někde se však začít musí! Tak pojďme začít.
Jak vytvořit souřadnicovou osu
Nejprve musíte nakreslit vodorovnou čáru – to bude naše osa. Na pravé straně jej „naostřete“tak, aby vypadal jako šíp. Naznačíme tedy směr, kterým se čísla budou ubíratzvýšit. Ve směru dolů šipka obvykle není umístěna. Tradičně osa ukazuje doprava, takže se budeme řídit tímto pravidlem.
Nastavme značku nuly, která zobrazí počátek souřadnic. Toto je přesně místo, odkud se odečítá odpočítávání, ať už jde o velikost, hmotnost, rychlost nebo cokoli jiného. Kromě nuly musíme nutně označit tzv. divizní cenu, tedy zavést jednotkovou normu, podle které na osu vyneseme určité veličiny. Toto musí být provedeno, aby bylo možné najít délku segmentu na souřadnicové čáře.
Ve stejné vzdálenosti od sebe umístěte na řádek tečky nebo „zářezy“a pod ně napište 1, 2, 3 a tak dále. A nyní je vše připraveno. Ale s výsledným rozvrhem se stále musíte naučit pracovat.
Typy bodů na souřadnicové čáře
Z prvního pohledu na výkresy navržené v učebnicích je jasné: body na ose mohou být vyplněny nebo nevyplněny. Myslíte, že je to náhoda? Vůbec ne! "Plná" tečka se používá pro nepřísnou nerovnost - takovou, která se čte jako "větší než nebo rovna". Pokud potřebujeme interval striktně omezit (například „x“může nabývat hodnot od nuly do jedné, ale nezahrnuje je), použijeme „dutý“bod, tedy ve skutečnosti malý kruh. na ose. Je třeba poznamenat, že studenti nemají příliš rádi striktní nerovnosti, protože je obtížnější s nimi pracovat.
V závislosti na tom, které body mátepoužití na grafu, budou také volány postavené intervaly. Pokud nerovnost na obou stranách není přísná, dostaneme segment. Pokud se na jedné straně ukáže, že je „otevřený“, bude se to nazývat poloviční interval. Konečně, pokud je část úsečky na obou stranách ohraničena dutými body, bude se nazývat interval.
Letadlo
Při konstrukci dvou přímek na souřadnicové rovině již můžeme uvažovat grafy funkcí. Řekněme, že vodorovná čára je časová osa a svislá čára je vzdálenost. A nyní jsme schopni určit, jakou vzdálenost objekt překoná za minutu nebo hodinu cesty. Práce s rovinou tedy umožňuje sledovat změnu stavu objektu. To je mnohem zajímavější než zkoumání statického stavu.
Nejjednodušší graf na takové rovině je přímka, odráží funkci Y(X)=aX + b. Ohýbá se čára? To znamená, že objekt během studie mění své vlastnosti.
Představte si, že stojíte na střeše budovy a v natažené ruce držíte kámen. Když jej pustíte, sletí dolů a začne se pohybovat od nulové rychlosti. Za vteřinu ale překoná 36 kilometrů v hodině. Kámen bude dále zrychlovat, a abyste mohli zakreslit jeho pohyb do mapy, budete muset změřit jeho rychlost v několika bodech v čase nastavením bodů na ose na vhodná místa.
Značky na vodorovné souřadnicové čáře jsou standardně pojmenovány X1, X2, X3 a na svislé - Y1, Y2, Y3, v tomto pořadí. promítáníjejich do roviny a nalezením průsečíků najdeme fragmenty výsledného vzoru. Když je spojíme jednou přímkou, dostaneme graf funkce. V případě padajícího kamene bude kvadratická funkce vypadat takto: Y(X)=aXX + bX + c.
Měřítko
Samozřejmě není nutné dávat celočíselné hodnoty vedle dělení přímkou. Pokud uvažujete o pohybu šneka, který se plazí rychlostí 0,03 metru za minutu, nastavte jako hodnoty na souřadnicovém zlomku. V tomto případě nastavte interval stupnice na 0,01 metru.
Obzvláště vhodné je provádět takové kresby v poznámkovém bloku v kleci - zde můžete okamžitě zjistit, zda je na listu dostatek místa pro váš graf, pokud překročíte okraje. Není těžké vypočítat vaši sílu, protože šířka buňky v takovém notebooku je 0,5 centimetru. Trvalo - zmenšil obrázek. Změny v měřítku grafu nezpůsobí ztrátu nebo změnu vlastností.
Souřadnice bodu a segmentu
Když je v hodině zadán matematický problém, může obsahovat parametry různých geometrických tvarů, a to jak ve formě délky stran, obvodu, plochy, tak ve formě souřadnic. V tomto případě možná budete muset vytvořit tvar a získat některá data s ním spojená. Nabízí se otázka: jak najít požadované informace na souřadnicové čáře? A jak vytvořit tvar?
Například mluvíme o bodu. Poté se ve stavu úlohy objeví velké písmeno a v závorkách několik čísel, nejčastěji dvě (to znamená, že budeme počítat ve dvourozměrném prostoru). Pokud jsou v závorkách tři čísla oddělená středníkem nebo čárkou, jedná se o trojrozměrný prostor. Každá z hodnot je souřadnice na odpovídající ose: nejprve podél vodorovné (X), poté podél svislé (Y).
Pamatujete si, jak se kreslí segment? Předal jsi to geometrii. Pokud existují dva body, lze mezi nimi nakreslit čáru. Jejich souřadnice jsou uvedeny v závorkách, pokud se v problému objeví segment. Například: A(15, 13) - B(1, 4). Chcete-li vytvořit takovou čáru, musíte najít a označit body v souřadnicové rovině a poté je spojit. To je ono!
A jakékoli polygony, jak víte, lze nakreslit pomocí segmentů. Problém vyřešen.
Výpočty
Řekněme, že existuje nějaký objekt, jehož poloha podél osy X je charakterizována dvěma čísly: začíná v bodě se souřadnicí (-3) a končí na (+2). Pokud chceme znát délku tohoto objektu, musíme od většího odečíst menší číslo. Všimněte si, že záporné číslo absorbuje znaménko odčítání, protože "mínus krát mínus se rovná plus." Takže přidáme (2+3) a dostaneme 5. Toto je požadovaný výsledek.
Další příklad: dostaneme koncový bod a délku objektu, ale ne počáteční bod (a ten potřebujeme najít). Nechť je poloha známého bodu (6) a velikost studovaného objektu (4). Odečtením délky od výsledné souřadnice dostaneme odpověď. Celkem: (6–4)=2.
Záporná čísla
V praxi je často vyžadováno pracovat se zápornými hodnotami. V tomto případě budemeposun doleva podél souřadnicové osy. Ve vodě plave například předmět vysoký 3 centimetry. Jedna třetina je ponořena v kapalině, dvě třetiny jsou ve vzduchu. Poté, když jako osu zvolíme vodní hladinu, dostaneme pomocí nejjednodušších aritmetických výpočtů dvě čísla: horní bod objektu má souřadnice (+2) a spodní - (-1) centimetr.
Je snadné vidět, že v případě roviny máme čtyři čtvrtiny souřadnicové čáry. Každý z nich má své vlastní číslo. V první (pravé horní) části budou body se dvěma kladnými souřadnicemi, ve druhé - vlevo nahoře - hodnoty na ose X budou záporné a podél osy Y - kladné. Třetí a čtvrtý se počítají dále proti směru hodinových ručiček.
Důležitá vlastnost
Víte, že čáru lze znázornit jako nekonečný počet bodů. Můžeme si prohlížet tak pečlivě, jak chceme, libovolný počet hodnot v každém směru osy, ale s opakujícími se nepotkáme. Zdá se to naivní a pochopitelné, ale toto tvrzení vychází z důležité skutečnosti: každé číslo odpovídá jednomu jedinému bodu na souřadnicové čáře.
Závěr
Nezapomeňte, že všechny osy, obrazce a pokud možno grafika musí být postaveny na pravítku. Jednotky měření nevymyslel člověk náhodou - pokud uděláte při kreslení chybu, riskujete, že uvidíte jiný obrázek, než měl být.
Buďte opatrní a přesní při vykreslování a výpočtech. Jako každá věda studovaná ve škole, i matematika miluje přesnost. Dejte si trochu úsilí a dobřehodnocení na sebe nenechají dlouho čekat.
