Mnohostěny nejen zaujímají přední místo v geometrii, ale vyskytují se také v každodenním životě každého člověka. Nemluvě o uměle vytvořených domácích předmětech v podobě různých mnohoúhelníků, krabičkou od sirek počínaje a architektonickými prvky konče, krystaly v podobě krychle (sůl), hranolu (krystal), pyramidy (scheelit), osmistěnu (diamant), atd. e.
Koncept mnohostěnu, typy mnohostěnů v geometrii
Geometrie jako věda obsahuje sekci stereometrie, která studuje charakteristiky a vlastnosti trojrozměrných obrazců. Geometrická tělesa, jejichž strany jsou v trojrozměrném prostoru tvořeny ohraničenými rovinami (plochy), se nazývají "polyedry". Typy mnohostěnů zahrnují více než tucet zástupců, lišících se počtem a tvarem tváří.
Všechny mnohostěny však mají společné vlastnosti:
- Všechny mají 3 základní součásti: obličej(plocha mnohoúhelníku), vrchol (rohy vytvořené na spojení ploch), hrana (strana obrazce nebo segment vytvořený na spojení dvou ploch).
- Každá hrana polygonu spojuje dvě a pouze dvě plochy, které spolu sousedí.
- Konvexita znamená, že tělo je zcela umístěno pouze na jedné straně roviny, na které leží jedna z tváří. Pravidlo platí pro všechny plochy mnohostěnu. Takové geometrické útvary ve stereometrii se nazývají konvexní mnohostěny. Výjimkou jsou hvězdicovité mnohostěny, které jsou deriváty pravidelných mnohostěnných geometrických těles.
Mnohostěny lze podmíněně rozdělit na:
- Typy konvexních mnohostěnů, skládající se z následujících tříd: obyčejné nebo klasické (hranol, pyramida, rovnoběžnostěn), pravidelné (nazývané také platónská tělesa), polopravidelné (druhé jméno - Archimédova tělesa).
- Nekonvexní mnohostěny (ve tvaru hvězdy).
Hranol a jeho vlastnosti
Stereometrie jako odvětví geometrie studuje vlastnosti trojrozměrných obrazců, typy mnohostěnů (jednou z nich je hranol). Hranol je geometrické těleso, které má nutně dvě absolutně identické plochy (nazývají se také podstavy) ležící v rovnoběžných rovinách a n-tý počet bočních ploch ve tvaru rovnoběžníků. Na druhé straně má hranol také několik odrůd, včetně takových typů mnohostěnů jako:
- Rovnoběžník - vytvořený, pokud je základna rovnoběžník -mnohoúhelník se 2 páry stejných protilehlých úhlů a 2 páry shodných protilehlých stran.
- Přímý hranol má hrany kolmé k základně.
- Nakloněný hranol se vyznačuje přítomností nepravých úhlů (jiných než 90) mezi plochami a základnou.
- Pravidelný hranol je charakterizován základnami ve formě pravidelného mnohoúhelníku se stejnými bočními plochami.
Základní vlastnosti hranolu:
- Kongruentní báze.
- Všechny hrany hranolu jsou stejné a vzájemně rovnoběžné.
- Všechny boční plochy mají tvar rovnoběžníku.
Pyramida
Pyramida je geometrické těleso, které se skládá z jedné základny a n-tého počtu trojúhelníkových ploch, spojených v jednom bodě – vrcholu. Je třeba poznamenat, že pokud jsou boční strany pyramidy nutně reprezentovány trojúhelníky, pak základna může být buď trojúhelníkový mnohoúhelník, čtyřúhelník nebo pětiúhelník, a tak dále do nekonečna. V tomto případě bude název pyramidy odpovídat polygonu na základně. Například, pokud trojúhelník leží na základně pyramidy, je to trojúhelníková pyramida, čtyřúhelník je čtyřúhelník atd.
Pyramidy jsou kuželovité mnohostěny. Typy mnohostěnů této skupiny, kromě výše uvedených, zahrnují také následující zástupce:
- Pravidelná pyramida má na své základně pravidelný mnohoúhelník a její výška se promítá do středukruh vepsaný do základny nebo opsaný kolem ní.
- Obdélníkový jehlan vznikne, když se jedna z bočních hran protne se základnou v pravém úhlu. V tomto případě je také spravedlivé nazvat tuto hranu výškou pyramidy.
Vlastnosti pyramidy:
- Pokud jsou všechny boční hrany pyramidy shodné (stejné výšky), pak se všechny protínají se základnou pod stejným úhlem a kolem základny můžete nakreslit kružnici se středem shodným s průmětem vrchol pyramidy.
- Pokud je základna pyramidy pravidelný mnohoúhelník, pak jsou všechny boční hrany shodné a plochy jsou rovnoramenné trojúhelníky.
Pravidelný mnohostěn: typy a vlastnosti mnohostěnu
Ve stereometrii zaujímají zvláštní místo geometrická tělesa s absolutně stejnými plochami, v jejichž vrcholech je spojen stejný počet hran. Tato tělesa se nazývají platónská tělesa nebo pravidelné mnohostěny. Typy mnohostěnů s takovými vlastnostmi mají pouze pět tvarů:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Ikosahedr.
Pravidelné mnohostěny vděčí za svůj název starověkému řeckému filozofovi Platónovi, který tato geometrická tělesa popsal ve svých spisech a spojil je s přírodními živly: zemí, vodou, ohněm, vzduchem. Pátá postava byla oceněna podobností se strukturou vesmíru. Podle jeho názoru se atomy přírodních prvků tvarem podobají typům pravidelných mnohostěnů. Díky své nejzajímavější vlastnosti -symetrie, tato geometrická tělesa měla velký zájem nejen o starověké matematiky a filozofy, ale také o architekty, umělce a sochaře všech dob. Přítomnost pouhých 5 typů mnohostěnů s absolutní symetrií byla považována za zásadní objev, dokonce jim bylo oceněno spojení s božským principem.
Šestistěn a jeho vlastnosti
V podobě šestiúhelníku předpokládali Platónovi nástupci podobnost se strukturou atomů Země. V současné době je samozřejmě tato hypotéza zcela vyvrácena, což však nebrání tomu, aby figurky svou estetikou přitahovaly mysl slavných postav v moderní době.
V geometrii je šestistěn, známý také jako krychle, považován za zvláštní případ rovnoběžnostěnu, který je zase jakýmsi hranolem. V souladu s tím vlastnosti krychle souvisí s vlastnostmi hranolu, pouze s tím rozdílem, že všechny strany a rohy krychle jsou si navzájem rovny. Z toho vyplývají následující vlastnosti:
- Všechny hrany krychle jsou shodné a leží vůči sobě v rovnoběžných rovinách.
- Všechny plochy jsou shodné čtverce (v krychli je jich celkem 6), z nichž každý může být použit jako základ.
- Všechny úhly rozhraní jsou 90.
- Z každého vrcholu vychází stejný počet hran, konkrétně 3.
- Krychle má 9 os symetrie, které se všechny protínají v průsečíku úhlopříček šestistěnu, který se nazývá střed symetrie.
Tetrahedron
čtyřstěn je čtyřstěn se stejnými plochami ve tvaru trojúhelníků, z nichž každý vrcholje styčný bod tří stěn.
Vlastnosti pravidelného čtyřstěnu:
- Všechny stěny čtyřstěnu jsou rovnostranné trojúhelníky, což znamená, že všechny stěny čtyřstěnu jsou shodné.
- Protože základna je reprezentována pravidelným geometrickým obrazcem, to znamená, že má stejné strany, sbíhají se plochy čtyřstěnu pod stejným úhlem, to znamená, že všechny úhly jsou stejné.
- Součet plochých úhlů v každém z vrcholů je 180, protože všechny úhly jsou stejné, pak jakýkoli úhel pravidelného čtyřstěnu je 60.
- Každý z vrcholů se promítá do průsečíku výšek protilehlé (orthocentrické) plochy.
Osmistěn a jeho vlastnosti
Při popisu typů pravidelných mnohostěnů si nelze nevšimnout takového objektu, jako je osmistěn, který lze vizuálně znázornit jako dvě čtyřboké pravidelné pyramidy slepené základnami.
Vlastnosti osmistěnu:
- Samotný název geometrického tělesa naznačuje počet jeho ploch. Osmistěn se skládá z 8 shodných rovnostranných trojúhelníků, v každém z jejich vrcholů se sbíhá stejný počet ploch, konkrétně 4.
- Protože jsou všechny plochy osmistěnu stejné, jeho úhly rozhraní jsou také stejné, z nichž každý je roven 60, a součet rovinných úhlů kteréhokoli z vrcholů je tedy 240.
Dodecahedron
Pokud si představíme, že všechny plochy geometrického tělesa jsou pravidelným pětiúhelníkem, dostaneme dvanáctistěn -postava 12 polygonů.
Vlastnosti dvanáctistěnu:
- Tři plochy se protínají v každém vrcholu.
- Všechny plochy jsou stejné a mají stejnou délku hrany a stejnou plochu.
- Dvanáctstěn má 15 os a rovin symetrie a kterákoli z nich prochází vrcholem plochy a středem protější hrany.
Ikosahedr
Postava dvacetistěnu je neméně zajímavá než dvanáctistěn a je trojrozměrným geometrickým tělesem s 20 stejnými plochami. Mezi vlastnosti pravidelného dvacetistěnu lze zaznamenat následující:
- Všechny plochy dvacetistěnu jsou rovnoramenné trojúhelníky.
- Pět ploch se sbíhá v každém vrcholu mnohostěnu a součet sousedních úhlů vrcholu je 300.
- Ikosahedr, stejně jako dvanáctistěn, má 15 os a rovin symetrie procházejících středy protilehlých ploch.
Polopravidelné mnohoúhelníky
Kromě platónských těles zahrnuje skupina konvexních mnohostěnů také Archimedova tělesa, což jsou zkrácené pravidelné mnohostěny. Typy mnohostěnů této skupiny mají následující vlastnosti:
- Geometrická tělesa mají párově stejné plochy několika typů, například zkrácený čtyřstěn má 8 ploch, jako běžný čtyřstěn, ale v případě Archimedova tělesa budou 4 plochy trojúhelníkové a 4 šestiúhelníkové.
- Všechny úhly jednoho vrcholu jsou shodné.
Hvězdný mnohostěn
Zástupci neobjemových typů geometrických těles jsou stelovité mnohostěny, jejichž plochy se vzájemně protínají. Mohou být vytvořeny sloučením dvou pravidelných 3D těles nebo prodloužením jejich ploch.
Takové hvězdicové mnohostěny jsou tedy známé jako: hvězdicové formy osmistěnu, dvanáctistěnu, dvacetistěnu, kuboktaedru, dvacetistěnu.
