Točivý moment. Točivý moment: formule. Moment síly: definice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Rotace je typický druh mechanického pohybu, který se často vyskytuje v přírodě a technologii. Jakákoli rotace vzniká v důsledku působení nějaké vnější síly na uvažovanou soustavu. Tato síla vytváří tzv. kroutící moment. Co to je, na čem to závisí, je diskutováno v článku.

Proces rotace

Než se budeme zabývat konceptem točivého momentu, pojďme charakterizovat systémy, na které lze tento koncept aplikovat. Systém rotace předpokládá přítomnost osy, kolem které se provádí kruhový pohyb nebo rotace. Vzdálenost od této osy k hmotným bodům systému se nazývá poloměr otáčení.

Z hlediska kinematiky je proces charakterizován třemi úhlovými hodnotami:

úhel rotace θ (měřeno v radiánech);
úhlová rychlost ω (měřená v radiánech za sekundu);
úhlové zrychlení α (měřeno v radiánech za čtvereční sekundu).

Tyto veličiny spolu souvisí následovněrovná se:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt.

Příklady rotace v přírodě jsou pohyby planet na jejich drahách a kolem jejich os, pohyby tornád. V každodenním životě a technice je daný pohyb typický pro motory motorů, hasáky, stavební jeřáby, otevírání dveří atd.

Určení momentu síly

Nyní přejděme k aktuálnímu tématu článku. Podle fyzikální definice je moment síly vektorovým součinem vektoru působení síly vzhledem k ose rotace a vektoru síly samotné. Odpovídající matematický výraz lze zapsat takto:

M¯=[r¯F¯].

Vektor r¯ zde směřuje od osy rotace k bodu působení síly F¯.

V tomto momentovém vzorci M¯ může být síla F¯ směrována v jakémkoli směru vzhledem ke směru osy. Složka síly rovnoběžná s osou však nevyvolá rotaci, pokud je osa pevně fixována. Ve většině úloh ve fyzice je třeba uvažovat síly F¯, které leží v rovinách kolmých k ose rotace. V těchto případech lze absolutní hodnotu točivého momentu určit podle následujícího vzorce:

|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).

Kde β je úhel mezi vektory r¯ a F¯.

Co je pákový efekt?

Páka síly hraje důležitou roli při určování velikosti momentu síly. Abyste pochopili, o čem mluvíme, zvažtedalší obrázek.

Zde ukazujeme tyč délky L, která je upevněna v otočném bodě jedním ze svých konců. Na druhý konec působí síla F směřující pod ostrým úhlem φ. Podle definice momentu síly lze napsat:

M=FLsin(180^o-φ).

Úhel (180^o-φ) se objevil, protože vektor L¯ směřuje od pevného konce k volnému konci. Vzhledem k periodicitě goniometrické funkce sinus můžeme tuto rovnost přepsat do následujícího tvaru:

M=FLsin(φ).

Pojďme nyní věnovat pozornost pravoúhlému trojúhelníku postavenému na stranách L, d a F. Podle definice funkce sinus dává součin přepony L a sinu úhlu φ hodnotu ramene d. Pak se dostáváme k rovnosti:

M=Fd.

Lineární hodnota d se nazývá páka síly. Je rovna vzdálenosti od vektoru síly F¯ k ose rotace. Jak je ze vzorce vidět, je vhodné při výpočtu momentu M použít koncept silové páky. Výsledný vzorec říká, že maximální krouticí moment pro nějakou sílu F nastane pouze tehdy, když délka vektoru poloměru r¯ (L¯ na obrázku výše) se rovná páce síly, to znamená, že r¯ a F¯ budou vzájemně kolmé.

Směr M¯

Výše bylo ukázáno, že točivý moment je vektorová charakteristika pro daný systém. Kam tento vektor směřuje? Odpovězte na tuto otázku neje obzvláště obtížné, pokud si pamatujeme, že výsledkem součinu dvou vektorů je třetí vektor, který leží na ose kolmé k rovině původních vektorů.

Zbývá rozhodnout, zda moment síly bude směřovat nahoru nebo dolů (směrem ke čtečce nebo od ní) vzhledem k uvedené rovině. Můžete to určit buď pravidlem gimlet, nebo pomocí pravidla pravé ruky. Zde jsou obě pravidla:

Pravidlo pravé ruky. Položíte-li pravou ruku tak, že se její čtyři prsty pohybují od začátku vektoru r¯ k jeho konci a poté od začátku vektoru F¯ k jeho konci, pak vyčnívající palec bude indikovat směr okamžiku M¯.
Pravidlo Gimlet. Pokud se směr otáčení imaginárního závěsu shoduje se směrem rotačního pohybu systému, pak translační pohyb závěsu bude udávat směr vektoru M¯. Připomeňme, že se otáčí pouze ve směru hodinových ručiček.

Obě pravidla jsou stejná, takže každý může použít to, které je pro něj výhodnější.

Při řešení praktických problémů se bere v úvahu různý směr točivého momentu (nahoru - dolů, doleva - doprava) pomocí znamének "+" nebo "-". Je třeba mít na paměti, že kladný směr momentu M¯ je považován za ten, který vede k otáčení systému proti směru hodinových ručiček. Pokud tedy nějaká síla vede k rotaci systému ve směru hodin, pak bude mít moment vytvořený touto silou zápornou hodnotu.

Fyzický význammnožství M¯

Ve fyzice a mechanice rotace určuje hodnota M¯ schopnost síly nebo souhrnu sil rotovat. Vzhledem k tomu, že matematická definice veličiny M¯ obsahuje nejen sílu, ale také poloměrový vektor jejího působení, je to právě ten druhý, který do značné míry určuje uvedenou rotační schopnost. Aby bylo jasnější, o jaké schopnosti mluvíme, uvádíme několik příkladů:

Každý člověk se alespoň jednou v životě pokusil otevřít dveře ne držením kliky, ale přitlačením k pantům. V druhém případě musíte vynaložit značné úsilí, abyste dosáhli požadovaného výsledku.
K odšroubování matice ze šroubu použijte speciální klíče. Čím delší je klíč, tím snazší je povolit matici.
Abychom pocítili důležitost páky moci, zveme čtenáře, aby provedli následující experiment: vezměte si židli a zkuste ji držet jednou rukou na váze, v jednom případě opřete ruku o tělo, v druhý provádějte úkol na rovné paži. To druhé se pro mnohé ukáže jako zdrcující úkol, ačkoli váha židle zůstala stejná.

Jednotky momentu síly

Je třeba říci také několik slov o jednotkách SI, ve kterých se měří točivý moment. Podle vzorce pro něj napsaného se měří v newtonech na metr (Nm). Tyto jednotky však také ve fyzice měří práci a energii (1 Nm=1 joule). Joule pro okamžik M¯ neplatí, protože práce je skalární veličina, zatímco M¯ je vektor.

Přestoshoda jednotek momentu síly s jednotkami energie není náhodná. Práce na rotaci systému, vykonaná momentem M, se vypočítá podle vzorce:

A=Mθ.

Z toho jsme získali, že M lze také vyjádřit v joulech na radián (J/rad).

Dynamika rotace

Na začátku článku jsme sepsali kinematické charakteristiky, které se používají k popisu rotačního pohybu. V rotační dynamice je hlavní rovnicí, která používá tyto charakteristiky:

M=Iα.

Působení momentu M na systém s momentem setrvačnosti I vede ke vzniku úhlového zrychlení α.

Tento vzorec se používá k určení úhlových frekvencí rotace v technologii. Například při znalosti točivého momentu asynchronního motoru, který závisí na frekvenci proudu v cívce statoru a na velikosti měnícího se magnetického pole, a také při znalosti setrvačných vlastností rotujícího rotoru, je možné určit jakou rychlostí otáčení ω se rotor motoru otáčí za známý čas t.

Příklad řešení problému

Páka beztíže, 2 metry dlouhá, má uprostřed podpěru. Jakou hmotnost je třeba položit na jeden konec páky, aby byla v rovnovážném stavu, pokud na druhé straně podpěry ve vzdálenosti 0,5 metru od ní leží hmotnost 10 kg?

Je zřejmé, že rovnováha páky nastane, pokud budou momenty sil vytvářených zatížením stejné v absolutní hodnotě. Síla, která tvořímoment v tomto problému, představuje hmotnost těla. Páky síly se rovnají vzdálenostem od závaží k podpěře. Napišme odpovídající rovnost: