Vzorec pro střední kvadraturu rychlosti molekul ideálního plynu. Příklad úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Molekulárně kinetická teorie umožňuje pomocí analýzy mikroskopického chování systému a pomocí metod statistické mechaniky získat důležité makroskopické charakteristiky termodynamického systému. Jednou z mikroskopických charakteristik, která souvisí s teplotou systému, je střední kvadratická rychlost molekul plynu. Dáme na to vzorec a zvážíme to v článku.

Ideální plyn

Hned si všimneme, že vzorec pro kvadratickou průměrnou rychlost molekul plynu bude dán specificky pro ideální plyn. Podle něj se ve fyzice uvažuje takový mnohočásticový systém, ve kterém částice (atomy, molekuly) spolu neinteragují (jejich kinetická energie převyšuje potenciální energii interakce o několik řádů) a nemají rozměry, to znamená, že jsou to body s konečnou hmotností (vzdálenost mezi částicemi o několik řádů větší, než je jejich velikost.lineární).

Jakýkoli plyn, který se skládá z chemicky neutrálních molekul nebo atomů, je pod nízkým tlakem a má vysokou teplotu, lze považovat za ideální. Například vzduch je ideální plyn, ale vodní pára už taková není (mezi molekulami vody působí silné vodíkové vazby).

Molekulární kinetická teorie (MKT)

Při studiu ideálního plynu v rámci MKT byste měli věnovat pozornost dvěma důležitým procesům:

1. Plyn vytváří tlak tím, že přenáší na stěny nádoby, která jej obsahuje, hybnost, kdy se s nimi molekuly a atomy srážejí. Takové kolize jsou dokonale elastické.
2. Molekuly a atomy plynu se náhodně pohybují všemi směry různými rychlostmi, jejichž rozložení se řídí Maxwell-Boltzmannovou statistikou. Pravděpodobnost srážky mezi částicemi je extrémně nízká kvůli jejich zanedbatelné velikosti a velké vzdálenosti mezi nimi.

Přestože se jednotlivé rychlosti částic plynu od sebe velmi liší, zůstává průměrná hodnota této hodnoty v čase konstantní, pokud na systém nepůsobí vnější vlivy. Vzorec pro střední čtvercovou rychlost molekul plynu lze získat zvážením vztahu mezi kinetickou energií a teplotou. Touto otázkou se budeme zabývat v dalším odstavci článku.

Odvození vzorce pro kvadratickou průměrnou rychlost molekul ideálního plynu

Každý student z obecného kurzu fyziky ví, že kinetická energie translačního pohybu tělesa o hmotnosti m se vypočítá takto:

E_k=mv²/2

Kde v je lineární rychlost. Na druhé straně lze kinetickou energii částice určit také v podmínkách absolutní teploty T pomocí konverzního faktoru k_B (Boltzmannova konstanta). Protože náš prostor je trojrozměrný, E_k se vypočítá takto:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalentní oběma rovnostem a vyjádřením v z nich získáme vzorec pro průměrnou rychlost kvadratického ideálního plynu:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

V tomto vzorci je m - hmotnost částice plynu. Jeho hodnota je pro praktické výpočty nepohodlná, protože je malá (≈ 10^-27kg). Abychom se této nepříjemnosti vyhnuli, připomeňme si univerzální plynovou konstantu R a molární hmotnost M. Konstanta R s k_B souvisí rovností:

k_B=R/N_A.

Hodnota M je definována následovně:

M=mN_A.

Vezmeme-li v úvahu obě rovnosti, získáme následující výraz pro střední kvadraturu rychlosti molekul:

v=√(3RT/M).

Střední kvadratická rychlost částic plynu je tedy přímo úměrná druhé odmocnině absolutní teploty a nepřímo úměrná druhé odmocnině molární hmotnosti.

Příklad řešení problému

Každý ví, že vzduch, který dýcháme, je z 99 % tvořen dusíkem a kyslíkem. Je nutné určit rozdíly v průměrných rychlostech molekul N₂ a O₂ při teplotě 15 ^o C.

Tento problém bude vyřešen postupně. Nejprve převedeme teplotu na absolutní jednotky, máme:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Nyní zapište molární hmotnosti pro každou zvažovanou molekulu:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Vzhledem k tomu, že se hodnoty molárních hmotností mírně liší, měly by být jejich průměrné rychlosti při stejné teplotě také blízké. Pomocí vzorce pro v získáme následující hodnoty pro molekuly dusíku a kyslíku:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Vzhledem k tomu, že molekuly dusíku jsou o něco lehčí než molekuly kyslíku, pohybují se rychleji. Průměrný rozdíl rychlosti je:

v (N₂) – v (O₂)=506,6 – 473,9=32,7 m/s.

Výsledná hodnota je pouze 6,5 % průměrné rychlosti molekul dusíku. Upozorňujeme na vysoké rychlosti molekul v plynech i při nízkých teplotách.