Kruh je hlavní postavou geometrie, o jejíchž vlastnostech se uvažuje ve škole v 8. ročníku. Jedním z typických problémů spojených s kruhem je najít oblast nějaké jeho části, která se nazývá kruhový sektor. Článek poskytuje vzorce pro oblast sektoru a délku jeho oblouku a také příklad jejich použití pro řešení konkrétního problému.
Pojem kruhu a kruhu
Před zadáním vzorce pro oblast výseče kruhu se podívejme, jaký je uvedený údaj. Podle matematické definice se kružnicí rozumí takový obrazec v rovině, jehož všechny body jsou stejně vzdálené od některého bodu (středu).
Při zvažování kruhu se používá následující terminologie:
- Poloměr – segment, který se kreslí od středového bodu ke křivce kruhu. Obvykle se označuje písmenem R.
- Průměr je úsečka, která spojuje dva body kružnice, ale také prochází středem obrazce. Obvykle se označuje písmenem D.
- Oblouk je součástí zakřiveného kruhu. Měří se buď v jednotkách délky nebo pomocí úhlů.
Kruh je další důležitý geometrický útvar, je to soubor bodů, který je ohraničen zakřiveným kruhem.
Plocha a obvod kruhu
Hodnoty uvedené v názvu položky se vypočítají pomocí dvou jednoduchých vzorců. Jsou uvedeny níže:
- Obvod: L=2piR.
- Plocha kruhu: S=piR2.
V těchto vzorcích je pi nějaká konstanta zvaná Pi. Je to iracionální, to znamená, že to nelze přesně vyjádřit jako jednoduchý zlomek. Pi je přibližně 3,1416.
Jak můžete vidět z výše uvedených výrazů, pro výpočet plochy a délky stačí znát pouze poloměr kružnice.
Plocha sektoru kruhu a délka jeho oblouku
Před zvážením odpovídajících vzorců si připomeneme, že úhel v geometrii se obvykle vyjadřuje dvěma hlavními způsoby:
- v šestinásobných stupních a plná rotace kolem své osy je 360o;
- v radiánech, vyjádřeno jako zlomky pí a vztaženo na stupně podle následující rovnice: 2pi=360o.
Sektor kruhu je obrazec ohraničený třemi čarami: obloukem kruhu a dvěma poloměry umístěnými na koncích tohoto oblouku. Příklad kruhového sektoru je zobrazen na fotografii níže.
Získat představu o tom, co je sektor pro kruh, je snadnépochopit, jak vypočítat jeho plochu a délku odpovídajícího oblouku. Z obrázku výše je vidět, že oblouk výseče odpovídá úhlu θ. Víme, že celý kruh odpovídá 2pi radiánům, takže vzorec pro obsah kruhového sektoru bude mít tvar: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Zde je úhel θ vyjádřen v radiánech. Podobný vzorec pro oblast sektoru, pokud je úhel θ měřen ve stupních, bude vypadat takto: S1=piθR2 /360.
Délka oblouku tvořícího sektor se vypočítá podle vzorce: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A pokud je θ známo ve stupních, pak: L1=piθR/180.
Příklad řešení problému
Na příkladu jednoduchého problému si ukážeme, jak použít vzorce pro oblast výseče kruhu a délku jeho oblouku.
Je známo, že kolo má 12 paprsků. Když kolo udělá jednu úplnou otáčku, urazí vzdálenost 1,5 metru. Jaká je plocha mezi dvěma sousedními paprsky kola a jaká je délka oblouku mezi nimi?
Jak můžete vidět z odpovídajících vzorců, abyste je mohli použít, potřebujete znát dvě veličiny: poloměr kružnice a úhel oblouku. Poloměr lze vypočítat ze znalosti obvodu kola, protože mu přesně odpovídá vzdálenost, kterou urazí za jednu otáčku. Máme: 2Rpi=1,5, odkud: R=1,5/(2pi)=0,2387 metru. Úhel mezi nejbližšími paprsky lze určit na základě znalosti jejich počtu. Za předpokladu, že všech 12 paprsků rozděluje kruh rovnoměrně na stejné sektory, dostaneme 12 stejných sektorů. V souladu s tím je úhlová míra oblouku mezi dvěma paprsky: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiánu.
Našli jsme všechny potřebné hodnoty, nyní je lze dosadit do vzorců a vypočítat hodnoty požadované stavem problému. Dostaneme: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, nebo 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m nebo 12,5 cm.
