Pojem vnitřní energie ideálního plynu: vzorce a příklad problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Jednou z důležitých otázek při studiu termodynamických systémů ve fyzice je otázka, zda tento systém může vykonávat nějakou užitečnou práci. S pojmem práce úzce souvisí pojem vnitřní energie. V tomto článku se podíváme na to, jaká je vnitřní energie ideálního plynu, a uvedeme vzorce pro její výpočet.

Ideální plyn

O plynu jako stavu agregace, který na sebe pod vnějším vlivem nepůsobí žádnou elastickou silou a v důsledku toho neudržuje objem a tvar, zná každý školák. Pojem ideální plyn pro mnohé zůstává nepochopitelný a nejasný. Pojďme si to vysvětlit.

Ideální plyn je jakýkoli plyn, který splňuje následující dvě důležité podmínky:

• Částice, které je tvoří, nemají žádnou velikost. Mají sice velikost, ale je tak malá ve srovnání se vzdálenostmi mezi nimi, že ji lze ignorovat ve všech matematických výpočtech.
• Částice spolu neinteragují pomocí van der Waalsových sil nebo siljiná příroda. Ve skutečnosti je taková interakce přítomna ve všech skutečných plynech, ale její energie je zanedbatelná ve srovnání s průměrnou energií kinetických částic.

Popsané podmínky splňují téměř všechny skutečné plyny, jejichž teploty jsou nad 300 K a tlaky nepřesahují jednu atmosféru. U příliš vysokých tlaků a nízkých teplot pozoruje odchylku plynů od ideálního chování. V tomto případě se mluví o skutečných plynech. Jsou popsány van der Waalsovou rovnicí.

Koncept vnitřní energie ideálního plynu

V souladu s definicí je vnitřní energie systému součtem kinetických a potenciálních energií obsažených v tomto systému. Pokud je tento koncept aplikován na ideální plyn, pak by potenciální složka měla být vyřazena. Vzhledem k tomu, že částice ideálního plynu spolu neinteragují, lze je považovat za volně se pohybující v absolutním vakuu. K extrakci jedné částice ze studovaného systému není nutné pracovat proti vnitřním silám interakce, protože tyto síly neexistují.

Vnitřní energie ideálního plynu se tedy vždy shoduje s jeho kinetickou energií. Ta je zase jednoznačně určena molární hmotností částic systému, jejich počtem a také průměrnou rychlostí translačního a rotačního pohybu. Rychlost pohybu závisí na teplotě. Zvýšení teploty vede ke zvýšení vnitřní energie a naopak.

Vzorec provnitřní energie

Označte vnitřní energii ideálního plynového systému písmenem U. Podle termodynamiky je definována jako rozdíl mezi entalpií H systému a součinem tlaku a objemu, tedy:

U=H – pV.

V odstavci výše jsme zjistili, že hodnota U odpovídá celkové kinetické energii E_kvšech částic plynu:

U=E_k.

Ze statistické mechaniky v rámci molekulární kinetické teorie (MKT) ideálního plynu vyplývá, že průměrná kinetická energie jedné částice E_k1 je rovna následující hodnota:

E_k1=z/2k_BT.

Zde k_B a T - Boltzmannova konstanta a teplota, z - počet stupňů volnosti. Celkovou kinetickou energii systému E_k lze získat vynásobením E_k1 počtem částic N v systému:

E_k=NE_k1=z/2Nk_BT.

Získali jsme tedy vzorec pro vnitřní energii ideálního plynu, zapsaný v obecné podobě z hlediska absolutní teploty a počtu částic v uzavřeném systému:

U=z/2Nk_BT.

Monatomický a víceatomový plyn

Vzorec pro U napsaný v předchozím odstavci článku je pro praktické použití nepohodlný, protože je obtížné určit počet částic N. Pokud však vezmeme v úvahu definici látkového množství n, pak lze tento výraz přepsat do pohodlnějšího tvaru:

n=N/N_A; R=N_Ak_B=8,314 J/(molK);

U=z/2nR T.

Počet stupňů volnosti z závisí na geometrii částic, které tvoří plyn. Pro jednoatomový plyn je tedy z=3, protože atom se může nezávisle pohybovat pouze ve třech směrech prostoru. Pokud je plyn dvouatomový, pak z=5, protože ke třem translačním stupňům volnosti se přidají další dva rotační stupně volnosti. Nakonec pro jakýkoli jiný víceatomový plyn z=6 (3 translační a 3 rotační stupně volnosti). S ohledem na to můžeme v následující podobě napsat vzorce pro vnitřní energii ideálního plynu monatomického, dvouatomového a víceatomového typu:

U₁=3/2nRT;

U₂=5/2nRT;

U_≧3=3nRT.

Příklad úlohy k určení vnitřní energie

100litrový válec obsahuje čistý vodík o tlaku 3 atmosféry. Za předpokladu, že vodík je za daných podmínek ideální plyn, je nutné určit, jakou má vnitřní energii.

Výše uvedené vzorce pro U obsahují látkové množství a teplotu plynu. Ve stavu problému se o těchto veličinách vůbec nic neříká. K vyřešení problému je nutné připomenout univerzální Clapeyronovu-Mendělejevovu rovnici. Má vzhled znázorněný na obrázku.

Vzhledem k tomu, že vodík H₂ je dvouatomová molekula, vzorec pro vnitřní energii je:

U_H2=5/2nRT.

Porovnáním obou výrazů dospějeme ke konečnému vzorci pro řešení problému:

U_H2=5/2PV.

Zbývá převést jednotky tlaku a objemu z podmínky na soustavu jednotek SI, dosadit odpovídající hodnoty ve vzorci za U_H2 a získat odpověď: U_{H2 ≈ 76 kJ.}