Aritmetická druhá odmocnina a její vlastnosti

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Všichni jsme se ve škole učili aritmetické odmocniny v hodinách algebry. Stává se, že pokud znalosti nejsou osvěženy, pak jsou rychle zapomenuty, stejně jako kořeny. Tento článek se bude hodit žákům osmých tříd, kteří si chtějí osvěžit své znalosti v této oblasti, a dalším školákům, protože pracujeme s kořeny v 9., 10. a 11. ročníku.

Historie kořene a stupně

Dokonce i ve starověku, a konkrétně ve starověkém Egyptě, lidé potřebovali tituly, aby mohli provádět operace s čísly. Když takový koncept neexistoval, Egypťané zapsali součin stejného čísla dvacetkrát. Brzy však bylo vynalezeno řešení problému - do pravého horního rohu nad ním se začalo psát, kolikrát se musí číslo násobit samo od sebe, a tato forma záznamu přetrvala dodnes.

A historie druhé odmocniny začala asi před 500 lety. Byl označen různými způsoby a teprve v sedmnáctém století René Descartes zavedl takový znak, který používáme dodnes.

Co je odmocnina

Začněme vysvětlením, co je odmocnina. Druhá odmocnina nějakého čísla c je nezáporné číslo, které se po odmocnění bude rovnat c. V tomto případě je c větší nebo rovno nule.

Chceme-li uvést číslo pod odmocninu, odmocníme je a umístíme přes něj znak odmocnina:

32=9, 3=√9

Také nemůžeme získat hodnotu druhé odmocniny záporného čísla, protože jakékoli číslo ve čtverci je kladné, tedy:

c² ≧ 0, pokud √c je záporné číslo, pak c^{2 < 0 - v rozporu s pravidlem.}

Abyste mohli rychle vypočítat druhé odmocniny, potřebujete znát tabulku druhých mocnin čísel.

Vlastnosti

Uvažujme algebraické vlastnosti odmocniny.

1) Chcete-li extrahovat druhou odmocninu produktu, musíte vzít odmocninu každého faktoru. To znamená, že to lze napsat jako součin kořenů faktorů:

√ac=√a × √c, například:

√36=√4 × √9

2) Při extrakci odmocniny ze zlomku je nutné extrahovat odmocninu odděleně od čitatele a jmenovatele, to znamená zapsat jej jako podíl jejich kořenů.

3) Hodnota získaná odečtením druhé odmocniny čísla je vždy rovna modulu tohoto čísla, protože modul může být pouze kladný:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Abychom povýšili kořen jakékoli moci, pozvedáme jiradikální výraz:

(√с)⁴=√с^{4, například:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Druhá mocnina aritmetické odmocniny z c se rovná tomuto číslu samotnému:

(√s)2=s.

Kořeny iracionálních čísel

Řekněme, že odmocnina z šestnáctky je snadná, ale jak vzít odmocninu z čísel jako 7, 10, 11?

Číslo, jehož kořen je nekonečný neperiodický zlomek, se nazývá iracionální. Kořen z něj nemůžeme vydolovat sami. Můžeme to pouze porovnávat s jinými čísly. Například vezměte odmocninu z 5 a porovnejte ji s √4 a √9. Je jasné, že √4 < √5 < √9, pak 2 < √5 < 3. To znamená, že hodnota odmocniny z pěti je někde mezi dvěma a třemi, ale je mezi nimi spousta desetinných zlomků a vybírání každého je pochybný způsob, jak najít kořen.

Tuto operaci můžete provést na kalkulačce – je to nejjednodušší a nejrychlejší způsob, ale v 8. ročníku už nikdy nebudete muset extrahovat iracionální čísla z aritmetické odmocniny. Stačí si zapamatovat přibližné hodnoty odmocniny ze dvou a odmocniny ze tří:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Příklady

Nyní, na základě vlastností odmocniny, vyřešíme několik příkladů:

1) √17² - 8²

Pamatujte si vzorec pro rozdíl druhých mocnin:

√(17–8) (17+8)=√9 ×25

Známe vlastnost druhé aritmetické odmocniny – chcete-li extrahovat odmocninu ze součinu, musíte ji extrahovat z každého faktoru:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Použijte jinou vlastnost odmocniny – druhá mocnina aritmetické odmocniny čísla se rovná tomuto číslu samotnému:

2 × 3 + 6=12

Důležité! Když studenti začínají pracovat a řešit příklady s aritmetickými odmocninami, studenti dělají následující chybu:

√12 + 3=√12 + √3 – to nemůžeš!

Nemůžeme odmocnit každý termín. Žádné takové pravidlo neexistuje, ale je zaměňováno s přebíráním kořenů každého faktoru. Pokud bychom měli tento záznam:

√12 × 3, pak by bylo spravedlivé napsat √12 × 3=√12 × √3.

A tak můžeme napsat jen:

√12 + 3=√15