Povrchy 2. řádu: příklady

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Žák se v prvním ročníku nejčastěji setkává s povrchy 2. řádu. Zpočátku se úkoly na toto téma mohou zdát jednoduché, ale jak budete studovat vyšší matematiku a prohlubovat se po vědecké stránce, můžete se konečně přestat orientovat v dění. Aby k tomu nedocházelo, je nutné si nejen zapamatovat, ale také porozumět tomu, jak se ten či onen povrch získává, jak ho ovlivňuje změna koeficientů a jeho umístění vzhledem k původnímu souřadnicovému systému a jak najít nový systém. (takový, ve kterém se jeho střed shoduje s výchozími souřadnicemi a osa symetrie je rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os). Začněme od začátku.

Definice

GMT se nazývá povrch 2. řádu, jehož souřadnice splňují obecnou rovnici v následujícím tvaru:

F(x, y, z)=0.

Je jasné, že každý bod náležející k povrchu musí mít tři souřadnice v nějaké určené základně. I když v některých případech může těžiště bodů degenerovat například do roviny. Znamená to pouze, že jedna ze souřadnic je konstantní a rovná se nule v celém rozsahu přijatelných hodnot.

Úplná malovaná podoba výše zmíněné rovnosti vypadá takto:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – nějaké konstanty, x, y, z – proměnné odpovídající afinním souřadnicím nějakého bodu. V tomto případě se alespoň jeden z konstantních faktorů nesmí rovnat nule, to znamená, že rovnici nebude odpovídat žádný bod.}

V drtivé většině příkladů je mnoho číselných faktorů stále stejně rovných nule a rovnice je značně zjednodušená. V praxi není obtížné určit, zda bod patří k povrchu (stačí dosadit jeho souřadnice do rovnice a zkontrolovat, zda je identita dodržena). Klíčovým bodem takové práce je přivést ji do kanonické podoby.

Rovnice napsaná výše definuje jakékoli (všechny níže uvedené) povrchy 2. řádu. Příklady zvážíme níže.

Typy povrchů 2. řádu

Rovnice povrchů 2. řádu se liší pouze hodnotami koeficientů A_{nm. Z obecného pohledu lze pro určité hodnoty konstant získat různé povrchy klasifikované následovně:}

1. Válce.
2. Eliptický typ.
3. Hyperbolický typ.
4. Kónický typ.
5. Parabolický typ.
6. Letadla.

Každý z uvedených typů má přirozenou a imaginární formu: v imaginární podobě se těžiště skutečných bodů buď zvrhne v jednodušší obrazec, nebo úplně chybí.

Válce

Toto je nejjednodušší typ, protože relativně složitá křivka leží pouze na základně a funguje jako vodítko. Generátory jsou rovné čáry kolmé k rovině, ve které leží základna.

Graf ukazuje kruhový válec, speciální případ eliptického válce. V rovině XY bude jeho průmět elipsa (v našem případě kruh) - vodítko a v XZ - obdélník - protože generátory jsou rovnoběžné s osou Z. Abyste to dostali z obecné rovnice, potřebujete aby koeficienty získaly následující hodnoty:

Místo obvyklých symbolů je použito x, y, z, x s pořadovým číslem - na tom nezáleží.

Ve skutečnosti, 1/a2a další zde uvedené konstanty jsou stejné koeficienty uvedené v obecné rovnici, ale je obvyklé je psát v této podobě - to je kanonická reprezentace. Dále bude použit pouze takový zápis.

Takto je definován hyperbolický válec. Schéma je stejné – vodítkem bude hyperbola.

y2=2px

Parabolický válec je definován poněkud jinak: jeho kanonická forma zahrnuje koeficient p, nazývaný parametr. Ve skutečnosti je koeficient roven q=2p, ale je obvyklé ho rozdělit na dva uvedené faktory.

Existuje další typ válce: imaginární. Takovému válci nepatří žádný skutečný bod. Je popsána rovnicíeliptický válec, ale místo jednotky je -1.

Eliptický typ

Elipsoid lze natáhnout podél jedné z os (podél které závisí na hodnotách konstant a, b, c, uvedených výše; je zřejmé, že větší ose bude odpovídat větší koeficient).

Existuje také pomyslný elipsoid - za předpokladu, že součet souřadnic vynásobený koeficienty je -1:

Hyperboloidy

Když se v jedné z konstant objeví mínus, elipsoidní rovnice se změní na rovnici jednovrstvého hyperboloidu. Je třeba si uvědomit, že toto mínus se nemusí nacházet před souřadnicí x₃! Určuje pouze, která z os bude osou rotace hyperboloidu (nebo rovnoběžnou s ní, protože když se ve čtverci objeví další členy (například (x-2)^{2)) střed obrazce se posune, v důsledku toho se povrch pohybuje rovnoběžně se souřadnicovými osami). To platí pro všechny povrchy 2. řádu.}

Kromě toho musíte pochopit, že rovnice jsou prezentovány v kanonické podobě a lze je měnit změnou konstant (se znaménkem zachovaným!); zatímco jejich tvar (hyperboloid, kužel a tak dále) zůstane stejný.

Tato rovnice je již dána dvouvrstvým hyperboloidem.

Kónický povrch

V kuželové rovnici není žádná jednotka – rovnost nule.

Pouze ohraničená kuželová plocha se nazývá kužel. Obrázek níže ukazuje, že ve skutečnosti budou na grafu dva takzvané kužely.

Důležitá poznámka: ve všech uvažovaných kanonických rovnicích jsou konstanty ve výchozím nastavení považovány za kladné. V opačném případě může znaménko ovlivnit konečný graf.

Souřadnicové roviny se stávají rovinami symetrie kužele, střed symetrie se nachází v počátku.

V rovnici pomyslného kužele jsou pouze plusy; vlastní jeden jediný skutečný bod.

Paraboloidy

Plochy 2. řádu v prostoru mohou mít různé tvary i s podobnými rovnicemi. Například existují dva typy paraboloidů.

x²/a²+y²/b^2=2z

Eliptický paraboloid, když je osa Z kolmá na výkres, bude promítnut do elipsy.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolický paraboloid: sekce s rovinami rovnoběžnými s ZY vytvoří paraboly a sekce s rovinami rovnoběžnými s XY vytvoří hyperboly.

Protínající se roviny

Jsou případy, kdy povrchy 2. řádu degenerují do roviny. Tato letadla mohou být uspořádána různými způsoby.

Nejprve zvažte protínající se roviny:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Výsledkem této úpravy kanonické rovnice jsou pouze dvě protínající se roviny (imaginární!); všechny reálné body jsou na ose souřadnice, která v rovnici chybí (v kanonické - ose Z).

Paralelní letadla

y²=a²

Pokud existuje pouze jedna souřadnice, povrchy 2. řádu degenerují do dvojice rovnoběžných rovin. Pamatujte si, že jakákoliv jiná proměnná může nahradit Y; pak budou získány roviny rovnoběžné s jinými osami.

y²=−a²

V tomto případě se stanou imaginárními.

Koincidující roviny

y2=0

S tak jednoduchou rovnicí se dvojice rovin zvrhne v jednu – shodují se.

Nezapomeňte, že v případě trojrozměrné báze výše uvedená rovnice nedefinuje přímku y=0! Postrádá další dvě proměnné, ale to znamená, že jejich hodnota je konstantní a rovna nule.

Building

Jedním z nejtěžších úkolů pro studenta je konstrukce povrchů 2. řádu. Přesun z jednoho souřadnicového systému do druhého je ještě obtížnější, vzhledem k úhlům křivky vzhledem k osám a odsazení středu. Zopakujme si, jak důsledně určit budoucí pohled na výkres pomocí analytickéhozpůsobem.

K sestavení povrchu 2. řádu potřebujete:

• převeďte rovnici do kanonické podoby;
• určete typ studovaného povrchu;
• konstruovat na základě hodnot koeficientů.

Níže jsou uvažovány všechny typy:

Pro konsolidaci podrobně popišme jeden příklad tohoto typu úkolu.

Příklady

Předpokládejme, že existuje rovnice:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Převeďme to do kanonické podoby. Vyčleňme celé druhé mocniny, to znamená, že dostupné členy uspořádáme tak, aby byly rozšířením druhé mocniny součtu nebo rozdílu. Například: pokud (a+1)²=a²+2a+1 pak a²+2a +1=(a+1)^{2. Provedeme druhou operaci. V tomto případě není nutné otevírat závorky, protože to pouze zkomplikuje výpočty, ale je nutné vyjmout společný faktor 6 (v závorkách s plnou mocninou Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Proměnná z se v tomto případě vyskytuje pouze jednou – zatím ji můžete nechat být.

V této fázi analyzujeme rovnici: všem neznámým předchází znaménko plus; při dělení šesti zůstane jedna. Máme tedy rovnici, která definuje elipsoid.

Všimněte si, že 144 bylo započítáno do 150-6, poté bylo -6 posunuto doprava. Proč to muselo být provedeno tímto způsobem? Je zřejmé, že největší dělitel v tomto příkladu je -6, takže po dělení jímjedna je vlevo vpravo, je třeba „odložit“přesně 6 ze 144 (to, že by jedna měla být vpravo, je indikováno přítomností volného termínu - konstanty nenásobené neznámou).

Vydělte vše šesti a získejte kanonickou rovnici elipsoidu:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

V dříve používané klasifikaci povrchů 2. řádu se uvažuje zvláštní případ, kdy střed obrazce je v počátku souřadnic. V tomto příkladu je offset.

Předpokládáme, že každá závorka s neznámými je nová proměnná. To znamená: a=x-1, b=y+5, c=z. V nových souřadnicích se střed elipsoidu shoduje s bodem (0, 0, 0), tedy a=b=c=0, odkud: x=1, y=-5, z=0. V počátečních souřadnicích leží střed obrázku v bodě (1, -5, 0).

Elipsoid bude získán ze dvou elips: první v rovině XY a druhá v rovině XZ (nebo YZ - na tom nezáleží). Koeficienty, kterými se proměnné dělí, jsou v kanonické rovnici odmocněny. Proto by ve výše uvedeném příkladu bylo správnější dělit odmocninou ze dvou, jedničky a odmocninou ze tří.

Vedlejší osa první elipsy, rovnoběžná s osou Y, je dvě. Hlavní osa rovnoběžná s osou x jsou dva kořeny ze dvou. Vedlejší osa druhé elipsy, rovnoběžná s osou Y, zůstává stejná – rovná se dvěma. A hlavní osa, rovnoběžná s osou Z, se rovná dvěma kořenům ze tří.

Pomocí dat získaných z původní rovnice převodem do kanonického tvaru můžeme nakreslit elipsoid.

Shrnutí

Popsáno v tomto článkutéma je poměrně rozsáhlé, ale ve skutečnosti, jak nyní vidíte, není příliš složité. Jeho vývoj totiž končí ve chvíli, kdy si zapamatujete názvy a rovnice povrchů (a samozřejmě, jak vypadají). Ve výše uvedeném příkladu jsme podrobně probrali každý krok, ale převedení rovnice do kanonické podoby vyžaduje minimální znalosti vyšší matematiky a nemělo by studentovi způsobit žádné potíže.

Analýza budoucího harmonogramu stávající rovnosti je již obtížnější úkol. K jeho úspěšnému řešení však postačí pochopit, jak se staví odpovídající křivky druhého řádu – elipsy, paraboly a další.

Případy degenerace – ještě jednodušší sekce. Vzhledem k absenci některých proměnných jsou zjednodušeny nejen výpočty, jak již bylo zmíněno dříve, ale i samotná konstrukce.

Jakmile dokážete s jistotou pojmenovat všechny typy povrchů, měnit konstanty, přeměňovat graf do jednoho nebo druhého tvaru – téma bude zvládnuto.

Úspěch ve studiu!