Goldbachův problém je jedním z nejstarších a nejvíce medializovaných problémů v historii celé matematiky.
Tato domněnka byla prokázána jako pravdivá pro všechna celá čísla menší než 4 × 1018, ale zůstává neprokázaná navzdory značnému úsilí matematiků.
Číslo
Goldbachovo číslo je kladné sudé celé číslo, které je součtem dvojice lichých prvočísel. Další formou Goldbachovy domněnky je, že všechna sudá celá čísla větší než čtyři jsou Goldbachova čísla.
Oddělení takových čísel se nazývá Goldbachův oddíl (nebo oddíl). Níže jsou uvedeny příklady podobných sekcí pro některá sudá čísla:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Objevení hypotézy
Goldbach měl kolegu jménem Euler, který rád počítal, psal složité vzorce a předkládal neřešitelné teorie. V tom byli podobní Goldbachovi. Euler udělal podobnou matematickou hádanku ještě před Goldbachem, s nímž onneustálá korespondence. Na okraji svého rukopisu pak navrhl druhý návrh, podle kterého by celé číslo větší než 2 mohlo být zapsáno jako součet tří prvočísel. Jedničku považoval za prvočíslo.
Tyto dvě hypotézy jsou nyní známé jako podobné, ale v té době se nezdálo, že by to byl problém. Moderní verze Goldbachova problému říká, že každé celé číslo větší než 5 lze zapsat jako součet tří prvočísel. Euler odpověděl v dopise ze dne 30. června 1742 a připomněl Goldbachovi dřívější rozhovor, který spolu měli („… mluvíme tedy o původní (a nikoli okrajové) hypotéze vyplývající z následujícího prohlášení“).
Euler-Goldbach problém
2 a jeho sudá čísla lze zapsat jako součet dvou prvočísel, což je také Goldbachova domněnka. V dopise z 30. června 1742 Euler uvedl, že každé sudé celé číslo je výsledkem sečtení dvou prvočísel, což považuje za dobře definovanou větu, ačkoli to nemůže dokázat.
Třetí verze
Třetí verze Goldbachova problému (ekvivalentní zbylým dvěma verzím) je forma, ve které se domněnka dnes obvykle uvádí. Je také známá jako "silná", "sudá" nebo "binární" Goldbachova domněnka, aby se odlišila od slabší hypotézy známé dnes jako "slabá", "lichá" nebo "ternární" Goldbachova domněnka. Slabá domněnka tvrdí, že všechna lichá čísla větší než 7 jsou součtem tří lichých prvočísel. Slabá domněnka se prokázala v roce 2013. Slabá hypotéza jedůsledek silné hypotézy. Opačný důsledek a silná Goldbachova domněnka zůstávají dodnes neprokázané.
Zkontrolovat
Pro malé hodnoty n lze ověřit Goldbachův problém (a tedy Goldbachovu domněnku). Například Nils Pipping v roce 1938 pečlivě testoval hypotézu až do n ≦ 105. S příchodem prvních počítačů bylo vypočítáno mnohem více hodnot n.
Oliveira Silva provedl distribuované počítačové vyhledávání, které potvrdilo hypotézu pro n ≦ 4 × 1018 (a dvojitou kontrolu až do 4 × 1017) od roku 2013. Jeden záznam z tohoto vyhledávání je, že 3 325 581 707 333 960 528 je nejmenší číslo, které nemá Goldbachovo rozdělení s prvočíslem pod 9781.
Heuristika
Verze pro silnou formu Goldbachovy domněnky je následující: protože množství inklinuje k nekonečnu, jak n roste, očekáváme, že každé velké sudé celé číslo má více než jedno zobrazení jako součet dvou prvočísel. Ale ve skutečnosti existuje spousta takových reprezentací. Kdo vyřešil Goldbachův problém? Bohužel, stále nikdo.
Tento heuristický argument je ve skutečnosti poněkud nepřesný, protože předpokládá, že m je statisticky nezávislé na n. Je-li například m liché, pak je n - m také liché a je-li m sudé, pak je n - m sudé, a to je netriviální (složitý) vztah, protože kromě čísla 2 je pouze liché čísla mohou být prvočísla. Podobně, je-li n dělitelné 3 a m již bylo prvočíslo jiné než 3, pak n - m je také vzájemněprvočíslo s 3, takže je pravděpodobnější, že půjde o prvočíslo než o celkové číslo. Hardy a Littlewood provedli tento typ analýzy pečlivěji a v roce 1923 v rámci své slavné Hardy-Littlewoodovy jednoduché domněnky o n-tice provedli výše uvedené upřesnění celé teorie. Ale zatím to nepomohlo problém vyřešit.
Silná hypotéza
Silná Goldbachova domněnka je mnohem složitější než slabá Goldbachova domněnka. Shnirelman později dokázal, že jakékoli přirozené číslo větší než 1 lze zapsat jako součet nejvýše C prvočísel, kde C je efektivně vypočítatelná konstanta. Mnoho matematiků se to snažilo vyřešit, počítali a násobili čísla, nabízeli složité vzorce atd. Ale nikdy neuspěli, protože hypotéza je příliš komplikovaná. Nepomohly žádné vzorce.
Stojí ale za to se trochu vzdálit otázce dokazování Goldbachova problému. Shnirelmanova konstanta je nejmenší C číslo s touto vlastností. Sám Shnirelman dostal C <800 000. Tento výsledek byl následně doplněn mnoha autory, jako Olivier Ramaret, který v roce 1995 ukázal, že každé sudé číslo n ≧ 4 je ve skutečnosti součtem nejvýše šesti prvočísel. Nejslavnější výsledek v současnosti spojený s Goldbachovou teorií Haralda Helfgotta.
Další vývoj
V roce 1924 Hardy a Littlewood převzali G. R. H. ukázal, že počet sudých čísel do X, což porušuje binární Goldbachův problém, je mnohem menší než u malých c.
V roce 1973 Chen JingyunSnažil jsem se tento problém vyřešit, ale nefungovalo to. Byl také matematik, takže měl velmi rád luštění hádanek a dokazování vět.
V roce 1975 dva američtí matematici ukázali, že existují kladné konstanty c a C – ty, pro které je dostatečně velké N. Zejména množina sudých celých čísel má nulovou hustotu. To vše bylo užitečné pro práci na řešení ternárního Goldbachova problému, která bude probíhat v budoucnu.
V roce 1951 Linnik dokázal existenci konstanty K takové, že každé dostatečně velké sudé číslo je výsledkem vzájemného sčítání jednoho prvočísla a dalšího prvočísla. Roger Heath-Brown a Jan-Christoph Schlage-Puchta v roce 2002 zjistili, že K=13 funguje. To je velmi zajímavé pro všechny lidi, kteří rádi sčítají, sčítají různá čísla a sledují, co se stane.
Řešení problému Goldbach
Stejně jako u mnoha známých domněnek v matematice existuje řada údajných důkazů Goldbachovy domněnky, z nichž žádný není akceptován matematickou komunitou.
Přestože Goldbachova domněnka implikuje, že každé kladné celé číslo větší než jedna lze zapsat jako součet nejvýše tří prvočísel, není vždy možné takový součet najít pomocí zištného algoritmu, který používá největší možné prvočíslo na každém kroku. Pillaiova sekvence sleduje čísla vyžadující nejvíce prvočísel v jejich chamtivých reprezentacích. Proto řešení Goldbachova problémustále v otázce. Přesto se to dříve nebo později s největší pravděpodobností vyřeší.
Existují teorie podobné Goldbachovu problému, ve kterých jsou prvočísla nahrazena jinými specifickými sadami čísel, jako jsou čtverce.
Christian Goldbach
Christian Goldbach byl německý matematik, který také studoval práva. Dnes je připomínán pro Goldbachovu domněnku.
Celý život pracoval jako matematik – velmi rád sčítal čísla, vymýšlel nové vzorce. Znal také několik jazyků, v každém z nich si vedl svůj osobní deník. Těmito jazyky byly němčina, francouzština, italština a ruština. Také podle některých zdrojů mluvil anglicky a latinsky. Za svého života byl znám jako poměrně známý matematik. Goldbach byl také poměrně úzce spjat s Ruskem, protože měl mnoho ruských kolegů a osobní přízeň královské rodiny.
Pokračoval v práci na nově otevřené petrohradské akademii věd v roce 1725 jako profesor matematiky a historik akademie. V roce 1728, kdy se Petr II. stal ruským carem, se Goldbach stal jeho mentorem. V roce 1742 vstoupil na ruské ministerstvo zahraničí. To znamená, že u nás vlastně působil. V té době do Ruska přišlo mnoho vědců, spisovatelů, filozofů a vojáků, protože Rusko bylo v té době zemí příležitostí jako Amerika. Mnozí zde udělali kariéru. A náš hrdina není výjimkou.
Christian Goldbach byl vícejazyčný – psal si deník v němčině a latině, jeho dopisybyly psány německy, latinsky, francouzsky a italsky a pro oficiální dokumenty používal ruštinu, němčinu a latinu.
Zemřel 20. listopadu 1764 ve věku 74 let v Moskvě. Den, kdy bude Goldbachův problém vyřešen, bude patřičnou poctou jeho památce.
Závěr
Goldbach byl skvělý matematik, který nám dal jednu z největších záhad této vědy. Zda se to někdy vyřeší nebo ne, se neví. Víme pouze, že její domnělé řešení, jako v případě Fermatovy věty, otevře nové perspektivy pro matematiku. Matematici to velmi rádi řeší a analyzují. Je to velmi zajímavé a kuriózní z heuristického hlediska. I studenti matematiky rádi řeší Goldbachovu úlohu. Jak jinak? Mladé lidi přece neustále přitahuje vše světlé, ambiciózní a nedořešené, protože překonáváním obtíží se člověk může prosadit. Doufejme, že tento problém brzy vyřeší mladé, ambiciózní a zvídavé mysli.
