Ve školním kurzu prostorové geometrie je jedním z nejjednodušších útvarů, které mají nenulové rozměry podél tří prostorových os, čtyřúhelníkový hranol. Zvažte v článku, o jaký druh obrazce jde, z jakých prvků se skládá a také jak můžete vypočítat jeho povrch a objem.
Koncept hranolu
Hranol je v geometrii prostorový útvar, který je tvořen dvěma identickými základnami a bočními plochami, které spojují strany těchto základen. Všimněte si, že obě báze jsou transformovány do sebe pomocí operace paralelní translace nějakým vektorem. Toto přiřazení hranolu vede k tomu, že všechny jeho strany jsou vždy rovnoběžníky.
Počet stran základny může být libovolný, počínaje třemi. Když toto číslo směřuje k nekonečnu, hranol se hladce změní na válec, protože jeho základna se stane kruhem a boční rovnoběžníky, které se spojují, tvoří válcovou plochu.
Jako každý mnohostěn se i hranol vyznačujestrany (roviny, které spojují obrazec), hrany (úseky, podél kterých se kterékoli dvě strany protínají) a vrcholy (body setkání tří stran, pro hranol jsou dvě z nich boční a třetí je základna). Množství jmenovaných tří prvků obrázku jsou propojena následujícím výrazem:
P=C + B – 2
Zde P, C a B představují počet hran, stran a vrcholů. Tento výraz je matematickým zápisem Eulerovy věty.
Na obrázku nahoře jsou dva hranoly. Na základně jednoho z nich (A) leží pravidelný šestiúhelník a boční strany jsou kolmé k základnám. Obrázek B ukazuje další hranol. Jeho strany již nejsou kolmé k základnám a základna je pravidelný pětiúhelník.
Co je to čtyřboký hranol?
Jak je zřejmé z popisu výše, typ hranolu je primárně určen typem polygonu, který tvoří základnu (obě základny jsou stejné, takže můžeme mluvit o jedné z nich). Pokud je tento mnohoúhelník rovnoběžník, dostaneme čtyřúhelníkový hranol. Všechny strany tohoto typu hranolu jsou tedy rovnoběžníky. Čtyřboký hranol má své vlastní jméno - rovnoběžnostěn.
Počet stran rovnoběžnostěnu je šest a každá strana má podobnou rovnoběžku. Protože základny krabice jsou dvě strany, zbývající čtyři jsou boční.
Počet vrcholů kvádru je osm, což lze snadno zjistit, pokud si zapamatujeme, že vrcholy hranolu jsou tvořeny pouze ve vrcholech základních polygonů (4x2=8). Použitím Eulerovy věty dostaneme počet hran:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Z 12 žeber jsou pouze 4 vytvořena nezávisle na stranách. Zbývajících 8 leží v rovinách základen obrázku.
Dále v článku budeme hovořit pouze o čtyřbokých hranolech.
Typy rovnoběžnostěnců
Prvním typem klasifikace jsou rysy rovnoběžníku, který je základem. Může to vypadat takto:
- pravidelný, jehož úhly nejsou rovné 90o;
- obdélník;
- čtverec je pravidelný čtyřúhelník.
Druhým typem klasifikace je úhel, pod kterým strana protíná základnu. Zde jsou možné dva různé případy:
- tento úhel není přímý, pak se hranol nazývá šikmý nebo šikmý;
- úhel je 90o, pak je takový hranol obdélníkový nebo jen rovný.
Třetí typ klasifikace souvisí s výškou hranolu. Pokud je hranol obdélníkový a základna je buď čtverec nebo obdélník, pak se nazývá kvádr. Pokud je na základně čtverec, hranol je obdélníkový a jeho výška se rovná délce strany čtverce, dostaneme známý krychlový obrazec.
Povrch a plocha hranolu
Soubor všech bodů, které leží na dvou podstavách hranolu(rovnoběžníky) a po jeho stranách (čtyři rovnoběžníky) tvoří povrch obrazce. Plochu tohoto povrchu lze vypočítat výpočtem plochy základny a této hodnoty pro boční povrch. Jejich součet pak dá požadovanou hodnotu. Matematicky je to napsáno takto:
S=2So+ Sb
Zde So a Sb jsou plochy základního a bočního povrchu. Číslo 2 před So se objeví, protože existují dvě základny.
Všimněte si, že napsaný vzorec platí pro jakýkoli hranol, nejen pro oblast čtyřbokého hranolu.
Je užitečné připomenout, že plocha rovnoběžníku Sp se vypočítá podle vzorce:
Sp=ah
Kde symboly a a h označují délku jedné z jejích stran a výšku nakreslenou na tuto stranu.
Plocha obdélníkového hranolu se čtvercovou základnou
U pravidelného čtyřbokého hranolu je základna čtverec. Jeho stranu pro jednoznačnost označíme písmenem a. Pro výpočet plochy pravidelného čtyřbokého hranolu byste měli znát jeho výšku. Podle definice pro tuto veličinu se rovná délce kolmice svržené z jedné základny na druhou, tedy rovna vzdálenosti mezi nimi. Označme ho písmenem h. Protože všechny boční plochy jsou kolmé k základnám pro uvažovaný typ hranolu, bude výška pravidelného čtyřbokého hranolu rovna délce jeho boční hrany.
BObecný vzorec pro povrchovou plochu hranolu jsou dva pojmy. Plochu základny v tomto případě lze snadno vypočítat, rovná se:
So=a2
Pro výpočet plochy bočního povrchu argumentujeme následovně: tento povrch je tvořen 4 stejnými obdélníky. Kromě toho jsou strany každého z nich rovny a a h. To znamená, že plocha Sb bude rovna:
Sb=4ah
Všimněte si, že součin 4a je obvod čtvercové základny. Pokud tento výraz zobecníme na případ libovolné podstavy, pak pro pravoúhlý hranol lze boční plochu vypočítat následovně:
Sb=Poh
Kde Po je obvod základny.
Vrátíme-li se k problému výpočtu plochy pravidelného čtyřbokého hranolu, můžeme napsat konečný vzorec:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Plocha šikmého hranolu
Výpočet je poněkud obtížnější než u obdélníku. V tomto případě se základní plocha čtyřúhelníkového hranolu vypočítá pomocí stejného vzorce jako u rovnoběžníku. Změny se týkají způsobu, jakým se určuje plocha bočního povrchu.
Za tímto účelem použijte stejný vzorec přes obvod, jak je uvedeno v odstavci výše. Jen teď bude mít trochu jiné násobiče. Obecný vzorec pro Sb v případě šikmého hranolu je:
Sb=Psrc
Zde c je délka bočního okraje obrázku. Hodnota Psr je obvod obdélníkového řezu. Toto prostředí je postaveno následovně: je nutné protnout všechny boční plochy rovinou tak, aby byla na všechny kolmá. Výsledný obdélník bude mít požadovaný řez.
Obrázek výše ukazuje příklad šikmého rámečku. Jeho šrafovaná část svírá se stranami pravé úhly. Obvod sekce je Psr. Je tvořen čtyřmi výškami bočních rovnoběžníků. Pro tento čtyřúhelníkový hranol se plocha bočního povrchu vypočítá pomocí výše uvedeného vzorce.
Délka úhlopříčky kvádru
Úhlopříčka kvádru je segment, který spojuje dva vrcholy, které nemají společné strany, které je tvoří. V každém čtyřbokém hranolu jsou pouze čtyři úhlopříčky. U kvádru s obdélníkem na základně jsou délky všech úhlopříček navzájem stejné.
Obrázek níže ukazuje odpovídající obrázek. Červený segment je jeho úhlopříčka.
Výpočet jeho délky je velmi jednoduchý, pokud si pamatujete Pythagorovu větu. Každý student může získat požadovaný vzorec. Má následující tvar:
D=√(A2+ B2 + C2)
Zde D je délka úhlopříčky. Zbývající znaky jsou délky stran krabice.
Mnoho lidí si plete úhlopříčku rovnoběžnostěnu s úhlopříčkami jeho stran. Níže je obrázek, kde je barevnýsegmenty představují úhlopříčky stran obrázku.
Délka každého z nich je také určena Pythagorovou větou a je rovna druhé odmocnině součtu druhých mocnin odpovídajících délek stran.
Objem hranolu
Pro řešení některých geometrických problémů byste kromě plochy pravidelného čtyřbokého hranolu nebo jiných typů hranolů měli znát také jejich objem. Tato hodnota pro absolutně jakýkoli hranol se vypočítá podle následujícího vzorce:
V=Soh
Pokud je hranol pravoúhlý, stačí vypočítat plochu jeho základny a vynásobit ji délkou hrany strany, abychom dostali objem obrázku.
Pokud je hranol pravidelný čtyřboký hranol, jeho objem bude:
V=a2h.
Je snadné vidět, že tento vzorec je převeden na výraz pro objem krychle, pokud je délka boční hrany h rovna straně základny a.
Problém s kvádrem
Pro konsolidaci studovaného materiálu vyřešíme následující problém: existuje pravoúhlý hranol, jehož strany jsou 3 cm, 4 cm a 5 cm, je nutné vypočítat jeho povrch, délku úhlopříčky a objem.
Pro jednoznačnost budeme předpokládat, že základem obrazce je obdélník o stranách 3 cm a 4 cm. Jeho obsah je pak 12 cm2 a tečka je 14 cm. Pomocí vzorce pro povrchovou plochu hranolu dostaneme:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
K určení délky úhlopříčky a objemu obrázku můžete přímo použít výše uvedené výrazy:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problém se šikmým rovnoběžnostěnem
Na obrázku níže je znázorněn šikmý hranol. Jeho strany jsou stejné: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Musíte najít povrchovou plochu tohoto obrázku.
Nejprve určíme plochu základny. Obrázek ukazuje, že ostrý úhel je 50o. Pak je jeho oblast:
So=ha=sin(50o)ba
K určení plochy bočního povrchu byste měli najít obvod stínovaného obdélníku. Strany tohoto obdélníku jsou asin(45o) a bsin(60o). Potom je obvod tohoto obdélníku:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Celková plocha tohoto boxu je:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Dosadíme data z podmínky úlohy za délky stran obrázku, dostaneme odpověď:
S=458, 5496 cm3
Z řešení tohoto problému je vidět, že goniometrické funkce se používají k určení oblastí šikmých obrazců.
