Často se v životě potýkáme s potřebou posoudit pravděpodobnost, že k nějaké události dojde. Zda se vyplatí kupovat los nebo ne, jaké bude pohlaví třetího dítěte v rodině, zda bude zítra jasné počasí nebo bude zase pršet – takových příkladů je nespočet. V nejjednodušším případě byste měli vydělit počet příznivých výsledků celkovým počtem událostí. Pokud je v loterii 10 výherních tiketů a je jich celkem 50, pak šance na získání ceny jsou 10/50=0,2, tedy 20 proti 100. Ale co když existuje několik událostí a jsou blízko příbuzný? V tomto případě nás již nebude zajímat jednoduchá, ale podmíněná pravděpodobnost. Co je tato hodnota a jak ji lze vypočítat - to bude probráno v našem článku.
Koncept
Podmíněná pravděpodobnost je šance, že nastane určitá událost, za předpokladu, že se již stala jiná související událost. Zvažte jednoduchý příklad shodit si mincí. Pokud ještě nedošlo k remíze, šance na získání hlavičky nebo paty budou stejné. Pokud by ale mince pětkrát za sebou ležela s erbem nahoře, pak souhlaste s tím, že očekáváte 6., 7. a ještě více 10. opakování takového výsledku by bylo nelogické. S každým opakovaným směřováním roste šance, že se objeví ocasy a dříve nebo později vypadnou.
Vzorec podmíněné pravděpodobnosti
Pojďme nyní zjistit, jak se tato hodnota vypočítává. Označme první událost jako B a druhou jako A. Pokud se pravděpodobnost výskytu B liší od nuly, pak bude platit následující rovnost:
P (A|B)=P (AB) / P (B), kde:
- P (A|B) – podmíněná pravděpodobnost výsledku A;
- P (AB) - pravděpodobnost společného výskytu událostí A a B;
- P (B) – pravděpodobnost události B.
Po mírné transformaci tohoto poměru dostaneme P (AB)=P (A|B)P (B). A pokud použijeme metodu indukce, můžeme odvodit vzorec produktu a použít jej pro libovolný počet událostí:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Cvičení
Aby bylo snazší pochopit, jak se počítá podmíněná pravděpodobnost události, podívejme se na několik příkladů. Předpokládejme, že existuje váza obsahující 8 čokolád a 7 mincoven. Jsou stejně velké a náhodné.dva z nich jsou vytaženy za sebou. Jaká je šance, že oba budou čokoládoví? Představme si notaci. Nechť výsledek A znamená, že první bonbón je čokoláda, výsledek B je druhý čokoládový bonbón. Pak získáte následující:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Uvažujme ještě jeden případ. Předpokládejme, že existuje rodina se dvěma dětmi a víme, že alespoň jedno dítě je dívka.
Jaká je podmíněná pravděpodobnost, že tito rodiče ještě nemají chlapce? Stejně jako v předchozím případě začínáme notací. Nechť P(B) je pravděpodobnost, že je v rodině alespoň jedna dívka, P(A|B) je pravděpodobnost, že druhé dítě je také dívka, P(AB) je pravděpodobnost, že jsou v rodině dvě dívky. rodina. Nyní provedeme výpočty. Celkem mohou být 4 různé kombinace pohlaví dětí a v tomto případě pouze v jednom případě (když jsou v rodině dva chlapci) nebude mezi dětmi žádná dívka. Proto pravděpodobnost P (B)=3/4 a P (AB)=1/4. Pak podle našeho vzorce dostaneme:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Výsledek lze interpretovat následovně: pokud bychom neznali pohlaví jednoho z dětí, pak by šance dvou dívek byla 25 proti 100. Ale protože víme, že jedno dítě je dívka, pravděpodobnost, že rodina chlapců ne, se zvýší na jednu třetinu.
