Každý středoškolák zná takové prostorové útvary, jako je koule, válec, kužel, pyramida a hranol. Z tohoto článku se dozvíte, co je trojúhelníkový hranol a jakými vlastnostmi se vyznačuje.
Jaký údaj budeme v článku uvažovat?
Trojúhelníkový hranol je nejjednodušším zástupcem třídy hranolů, který má méně stran, vrcholů a hran než jakýkoli jiný podobný prostorový útvar. Tento hranol je tvořen dvěma trojúhelníky, které mohou mít libovolný tvar, ale které si musí být nutně rovny a být v rovnoběžných rovinách v prostoru, a třemi rovnoběžníky, které si v obecném případě nejsou rovny. Pro srozumitelnost je popsaný obrázek uveden níže.
Jak mohu získat trojúhelníkový hranol? Je to velmi jednoduché: měli byste vzít trojúhelník a přenést ho do nějakého vektoru v prostoru. Poté spojte shodné vrcholy dvou trojúhelníků úsečkami. Dostaneme tedy rám figury. Pokud si nyní představíme, že tento rám omezuje pevné strany, pak dostávámezobrazená trojrozměrná postava.
Z jakých prvků se zkoumaný hranol skládá?
Trojúhelníkový hranol je mnohostěn, to znamená, že je tvořen několika protínajícími se plochami nebo stranami. Výše bylo naznačeno, že má pět takových stran (dvě trojúhelníkové a tři čtyřúhelníkové). Trojúhelníkové strany se nazývají základny, zatímco rovnoběžníky jsou boční strany.
Studovaný hranol má jako každý mnohostěn vrcholy. Na rozdíl od pyramidy jsou vrcholy jakéhokoli hranolu stejné. Trojúhelníkový obrazec jich má šest. Všichni patří do obou základen. Dvě základní hrany a jedna boční hrana se protínají v každém vrcholu.
Pokud k počtu stran obrazce přičteme počet vrcholů a od výsledné hodnoty odečteme číslo 2, dostaneme odpověď na otázku, kolik hran má uvažovaný hranol. Je jich devět: šest omezuje základny a zbývající tři oddělují rovnoběžníky od sebe.
Typy tvarů
Dostatečně podrobný popis trojúhelníkového hranolu uvedený v předchozích odstavcích odpovídá několika typům obrázků. Zvažte jejich klasifikaci.
Studovaný hranol může být nakloněný a rovný. Rozdíl mezi nimi spočívá v typu bočních ploch. V přímém hranolu jsou to obdélníky a v nakloněném jsou to obecné rovnoběžníky. Níže jsou zobrazeny dva hranoly s trojúhelníkovými základnami, jeden přímý a jeden šikmý.
Na rozdíl od šikmého hranolu má rovný hranol všechny úhly mezi základnami astrany jsou 90°. Co znamená poslední skutečnost? Že výška trojúhelníkového hranolu, tedy vzdálenost mezi jeho základnami, v přímém obrázku je rovna délce libovolné boční hrany. U šikmé postavy je výška vždy menší než délka kterékoli z jejích bočních hran.
Hranol s trojúhelníkovou základnou může být nepravidelný a správný. Pokud jsou jeho základny trojúhelníky se stejnými stranami a samotná postava je rovná, pak se nazývá pravidelný. Pravidelný hranol má poměrně vysokou symetrii, včetně odrazových rovin a os rotace. Pro běžný hranol budou níže uvedeny vzorce pro výpočet jeho objemu a plochy povrchu. Takže popořadě.
Plocha trojúhelníkového hranolu
Než přistoupíme k získání odpovídajícího vzorce, rozložme správný hranol.
Je jasné, že plochu obrázku lze vypočítat sečtením tří oblastí identických obdélníků a dvou oblastí stejných trojúhelníků se stejnými stranami. Označme výšku hranolu písmenem h a stranu jeho trojúhelníkové základny - písmenem a. Pak pro oblast trojúhelníku S3 máme:
S3=√3/4a2
Tento výraz získáte vynásobením výšky trojúhelníku jeho základnou a následným dělením výsledku 2.
Za plochu obdélníku S4dostaneme:
S4=ah
Sečtením ploch všech stran dostaneme celkovou plochu obrázku:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
Zde první termín odráží plochu základen a druhý je plocha bočního povrchu trojúhelníkového hranolu.
Připomeňme, že tento vzorec platí pouze pro normální číslo. V případě nesprávného nakloněného hranolu by měl být výpočet plochy proveden v etapách: nejprve určete plochu základen a poté - boční povrch. Ten se bude rovnat součinu boční hrany a obvodu řezu kolmo k bočním plochám.
Objem obrázku
Objem trojúhelníkového hranolu lze vypočítat pomocí vzorce společného pro všechny obrazce této třídy. Vypadá to takto:
V=So h
V případě pravidelného trojúhelníkového hranolu bude mít tento vzorec následující konkrétní podobu:
V=√3/4a2 h
Pokud je hranol nepravidelný, ale rovný, pak místo plochy základny byste měli nahradit odpovídající plochu trojúhelníku. Pokud je hranol nakloněný, měla by se kromě určení plochy základny vypočítat také jeho výška. Zpravidla se k tomu používají trigonometrické vzorce, pokud jsou známy dihedrální úhly mezi stranami a základnami.
