Řešení rovnic v matematice má zvláštní místo. Tomuto procesu předchází mnohahodinové studium teorie, během kterého se student naučí řešit rovnice, určovat jejich tvar a dovést dovednost do plného automatismu. Hledání kořenů však ne vždy dává smysl, protože nemusí existovat. Pro hledání kořenů existují speciální metody. V tomto článku budeme analyzovat hlavní funkce, jejich rozsah a také případy, kdy jejich kořeny chybí.
Která rovnice nemá kořeny?
Rovnice nemá kořeny, pokud neexistují takové reálné argumenty x, pro které rovnice platí stejně. Pro laika tato formulace, stejně jako většina matematických vět a vzorců, vypadá velmi vágně a abstraktně, ale je to teoreticky. V praxi se vše stává extrémně jednoduchým. Například: rovnice 0x=-53 nemá řešení, protože neexistuje takové číslo x, jehož součin s nulou by dal něco jiného než nulu.
Nyní se podíváme na nejzákladnější typy rovnic.
1. Lineární rovnice
Rovnice se nazývá lineární, pokud její pravá a levá část jsou reprezentovány jako lineární funkce: ax + b=cx + d nebo ve zobecněném tvaru kx + b=0. Kde a, b, c, d jsou známé čísla a x je neznámá veličina. Která rovnice nemá kořeny? Příklady lineárních rovnic jsou uvedeny na obrázku níže.
V zásadě se lineární rovnice řeší jednoduchým přesunem části čísla do jedné části a obsahu x do druhé. Ukazuje se rovnice ve tvaru mx \u003d n, kde m a n jsou čísla a x je neznámá. K nalezení x stačí obě části vydělit m. Potom x=n/m. Lineární rovnice mají v zásadě pouze jeden kořen, ale jsou případy, kdy kořenů je buď nekonečně mnoho, nebo vůbec žádné. S m=0 an=0 má rovnice tvar 0x=0. Řešením takové rovnice bude naprosto jakékoli číslo.
Ale která rovnice nemá kořeny?
Když m=0 an=0, rovnice nemá kořeny z množiny reálných čísel. 0 x=-1; 0x=200 – tyto rovnice nemají kořeny.
2. Kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax2 + bx + c=0 pro a=0. Nejběžnějším způsobem řešení kvadratické rovnice je její řešení prostřednictvím diskriminantu. Vzorec pro nalezení diskriminantu kvadratické rovnice: D=b2 - 4ac. Pak existují dva kořeny x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Když D > 0 má rovnice dva kořeny, když D=0 - jeden kořen. Ale která kvadratická rovnice nemá kořeny?Nejjednodušší způsob, jak sledovat počet kořenů kvadratické rovnice, je na grafu funkce, což je parabola. U > 0 jsou větve směřovány nahoru, u < 0 jsou větve spuštěny dolů. Pokud je diskriminant záporný, nemá taková kvadratická rovnice kořeny v množině reálných čísel.
Můžete také vizuálně určit počet kořenů bez výpočtu diskriminantu. Chcete-li to provést, musíte najít vrchol paraboly a určit, kterým směrem jsou větve nasměrovány. X-ovou souřadnici vrcholu můžete určit pomocí vzorce: x0 =-b / 2a. V tomto případě je y-ová souřadnice vrcholu nalezena jednoduchým dosazením hodnoty x0 do původní rovnice.
Kvadratická rovnice x2 – 8x + 72=0 nemá kořeny, protože má záporný diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. To znamená, že parabola se nedotýká osy x a funkce nikdy nenabývá hodnoty 0, rovnice tedy nemá žádné skutečné kořeny.
3. Goniometrické rovnice
Trigonometrické funkce jsou uvažovány na goniometrickém kruhu, ale mohou být také reprezentovány v kartézském souřadnicovém systému. V tomto článku se podíváme na dvě základní goniometrické funkce a jejich rovnice: sinx a cosx. Protože tyto funkce tvoří trigonometrický kruh s poloměrem 1, |sinx| a |cosx| nemůže být větší než 1. Která rovnice sinx tedy nemá kořeny? Zvažte graf funkce sinx uvedený na obrázkuníže.
Vidíme, že funkce je symetrická a má periodu opakování 2pi. Na základě toho můžeme říci, že maximální hodnota této funkce může být 1 a minimální -1. Například výraz cosx=5 nebude mít kořeny, protože jeho modulo je větší než jedna.
Toto je nejjednodušší příklad goniometrických rovnic. Ve skutečnosti může jejich řešení zabrat mnoho stránek, na jejichž konci si uvědomíte, že jste použili špatný vzorec a je třeba začít znovu. Někdy i při správném nalezení kořenů můžete zapomenout zohlednit omezení na ODZ, proto se v odpovědi objeví kořen nebo interval navíc a celá odpověď se změní na chybnou. Proto přísně dodržujte všechna omezení, protože ne všechny kořeny zapadají do rozsahu úkolu.
4. Systémy rovnic
Systém rovnic je soubor rovnic kombinovaných se složenými nebo hranatými závorkami. Složené závorky označují společné provedení všech rovnic. To znamená, že pokud alespoň jedna z rovnic nemá kořeny nebo je v rozporu s druhou, celý systém nemá řešení. Hranaté závorky označují slovo „nebo“. To znamená, že pokud alespoň jedna z rovnic systému má řešení, pak má řešení celý systém.
Odpovědí systému s hranatými závorkami je souhrn všech kořenů jednotlivých rovnic. A systémy se složenými závorkami mají jen společné kořeny. Soustavy rovnic mohou zahrnovat naprosto různé funkce, takže tato složitost neníumožňuje okamžitě zjistit, která rovnice nemá kořeny.
Zobecnění a tipy pro hledání kořenů rovnice
V problémových knihách a učebnicích existují různé typy rovnic: ty, které mají kořeny, a ty, které je nemají. Za prvé, pokud nemůžete najít kořeny, nemyslete si, že vůbec neexistují. Možná jste někde udělali chybu, pak své řešení ještě jednou zkontrolujte.
Probrali jsme nejzákladnější rovnice a jejich typy. Nyní můžete říci, která rovnice nemá kořeny. Ve většině případů to není vůbec obtížné. K dosažení úspěchu při řešení rovnic je zapotřebí pouze pozornost a soustředění. Cvičte více, pomůže vám to procházet látkou mnohem lépe a rychleji.
Rovnice tedy nemá kořeny, pokud:
- v lineární rovnici mx=n je hodnota m=0 an=0;
- v kvadratické rovnici, pokud je diskriminant menší než nula;
- v trigonometrické rovnici tvaru cosx=m / sinx=n, jestliže |m| > 0, |n| > 0;
- v soustavě rovnic se složenými závorkami, pokud alespoň jedna rovnice nemá kořeny, a s hranatými závorkami, pokud všechny rovnice nemají kořeny.
